Na matemática, uma estrutura em um conjunto (ou em alguns conjuntos) refere-se a dotá-lo (ou a eles) de certas características adicionais (por exemplo, uma operação, relação, métrica ou topologia). Essas características adicionais são anexadas ou relacionadas ao conjunto (ou aos conjuntos), de modo a conferir-lhe (ou a eles) um significado ou importância adicional.
Uma lista parcial de estruturas possíveis inclui medidas, estruturas algébricas (grupos, corpos, etc.), topologias, estruturas métricas (geometrias), ordens, grafos, eventos, estruturas diferenciais, categorias, setoides e relações de equivalência.
Às vezes, um conjunto é dotado de mais de uma propriedade simultaneamente, o que permite aos matemáticos estudar a interação entre as diferentes estruturas de forma mais aprofundada. Por exemplo, uma ordenação impõe uma forma, estrutura ou topologia rígida ao conjunto, e se um conjunto possui tanto uma propriedade topológica quanto uma propriedade de grupo, de tal forma que essas duas propriedades estejam relacionadas de certa maneira, então a estrutura se torna um grupo topológico.
Um mapeamento entre dois conjuntos com estruturas semelhantes que preserva essas estruturas é conhecido como morfismo, e tais mapeamentos são de especial interesse em muitos campos da matemática. Exemplos incluem homomorfismos, que preservam estruturas algébricas; funções contínuas, que preservam estruturas topológicas; e funções diferenciáveis, que preservam estruturas diferenciais.
História Em 1939, o grupo francês que usava o pseudônimo "Nicolas Bourbaki" considerava as estruturas como a base da matemática. Eles as mencionaram pela primeira vez em seu "Fascículo" sobre Theory of Sets e aprofundaram o tema no Capítulo IV da edição de 1957. Identificaram três estruturas fundamentais: algébrica, topológica e de ordem.
Exemplo: os números reais O conjunto dos números reais possui diversas estruturas padrão: Uma ordem: cada número é menor ou maior do que qualquer outro número. Estrutura algébrica: existem operações de adição e multiplicação, sendo que a primeira a transforma em um grupo e o conjunto das duas operações a transforma em um corpo. Uma medida: os intervalos da reta real têm um comprimento específico, que pode ser estendido à medida de Lebesgue em muitos de seus subconjuntos. Uma métrica: existe uma noção de distância entre os pontos. Uma geometria: é equipada com uma métrica e é plana. Uma topologia: existe uma noção de conjuntos abertos.
Existem interfaces entre eles:
Sua ordem e, independentemente, sua estrutura métrica induzem sua topologia. Sua ordem e estrutura algébrica fazem dele um corpo ordenado. Sua estrutura algébrica e topologia a transformam em um grupo de Lie, um tipo de grupo topológico.
Ver também Estrutura abstrata Estrutura algébrica Categoria (matemática) Definições equivalentes de estruturas matemáticas Functor de esquecimento Teoria dos tipos intuicionista Isomorfismo Objeto matemático Espaço (matemática)
Leitura adicional Bourbaki, Nikolas (1968). "Elements of Mathematics: Theory of Sets". Hermann, Addison-Wesley. pp. 259–346, 383–385.
Ligações externas (provides a model theoretic definition.) Mathematical structures in computer science (journal)
Categoria:Teoria dos conjuntos Categoria:Teoria dos tipos