150px|thumb|direita| é um subconjunto de e é um superconjunto de Na matemática, se é um subconjunto de então a aplicação de inclusão (ou mapa de inclusão) é a função que envia cada elemento de para tratado como um elemento de
Uma aplicação de inclusão também pode ser referida como uma função de inclusão, uma inserção, ou uma injeção canônica.
Uma "seta com gancho" () é às vezes usada no lugar da seta de função acima para denotar uma aplicação de inclusão; assim:
(No entanto, alguns autores usam esta seta com gancho para qualquer mergulho — embedding.)
Esta e outras funções injetivas análogas a partir de subestruturas são às vezes chamadas de injeções naturais.
Dado qualquer morfismo entre objetos e , se houver uma aplicação de inclusão no domínio , então pode-se formar a restrição de Em muitas instâncias, também é possível construir uma inclusão canônica no contradomínio conhecida como a imagem (range) de
Aplicações das aplicações de inclusão As aplicações de inclusão tendem a ser homomorfismos de estruturas algébricas; assim, tais aplicações de inclusão são mergulhos. Mais precisamente, dada uma subestrutura fechada sob algumas operações, a aplicação de inclusão será um mergulho por razões tautológicas. Por exemplo, para alguma operação binária exigir que
é simplesmente dizer que é calculada consistentemente na subestrutura e na estrutura maior. O caso de uma operação unária é semelhante; mas também se deve observar as operações nulárias, que selecionam um elemento constante. Aqui, o ponto é que o fechamento significa que tais constantes já devem ser dadas na subestrutura.
Aplicações de inclusão são vistas na topologia algébrica onde, se é um retrato por deformação forte de a aplicação de inclusão produz um isomorfismo entre todos os grupos de homotopia (isto é, é uma equivalência de homotopia).
Aplicações de inclusão na geometria apresentam-se de diferentes tipos: por exemplo, mergulhos de subvariedades. Objetos contravariantes (ou seja, objetos que têm pullbacks; estes eram chamados de covariantes em uma terminologia mais antiga e não relacionada), como as formas diferenciais, restringem-se a subvariedades, fornecendo um mapeamento na outra direção. Outro exemplo, mais sofisticado, é o dos esquemas afins, para os quais as inclusões
e
podem ser morfismos diferentes, onde é um anel comutativo e é um ideal de
Ver também Cofibração Função de identidade
Referências
Categoria:Conceitos básicos na teoria dos conjuntos Categoria:Funções e mapeamentos
Categoria:Funções matemáticas