Na matemática, uma forma modular mock (ou forma modular simulada) é a parte holomorfa de uma forma de Maass fraca harmônica, e uma função teta mock é essencialmente uma forma modular mock de peso . Os primeiros exemplos de funções teta mock foram descritos por Srinivasa Ramanujan em sua última carta de 1920 para G. H. Hardy e em seu caderno perdido. Sander Zwegers descobriu que adicionar certas funções não holomorfas a elas as transforma em formas de Maass fracas harmônicas.
História thumb|Srinivasa Ramanujan
A carta de Ramanujan de 12 de janeiro de 1920 a Hardy listava 17 exemplos de funções que ele chamou de funções teta mock (simuladas), e seu caderno perdido continha vários outros exemplos. (Ramanujan usou o termo "função teta" para o que hoje seria chamado de forma modular.) Ramanujan apontou que elas têm uma expansão assintótica nas cúspides, semelhante à das formas modulares de peso , possivelmente com polos nas cúspides, mas não podem ser expressas em termos de funções teta "comuns". Ele chamou as funções com propriedades semelhantes de "funções teta mock". Zwegers mais tarde descobriu a conexão da função teta mock com formas fracas de Maass.
Ramanujan associou uma ordem às suas funções teta mock, que não foi claramente definida. Antes do trabalho de Zwegers, as ordens das funções teta mock conhecidas incluíam: 3, 5, 6, 7, 8, 10.
A noção de ordem de Ramanujan mais tarde provou corresponder ao condutor do caráter de Nebentypus das formas harmônicas de Maass de peso que admitem as funções teta mock de Ramanujan como suas projeções holomorfas.
Nas décadas seguintes, as funções teta mock de Ramanujan foram estudadas por Watson, Andrews, Selberg, Hickerson, Choi, McIntosh e outros, que provaram as afirmações de Ramanujan sobre elas e encontraram vários outros exemplos e identidades. (A maioria das "novas" identidades e exemplos já era conhecida por Ramanujan e reapareceu em seu caderno perdido.) Em 1936, Watson descobriu que, sob a ação de elementos do grupo modular, as funções teta mock de ordem 3 quase se transformam como formas modulares de peso (multiplicadas por potências adequadas de q), exceto pelo fato de haver "termos de erro" nas equações funcionais, geralmente dados como integrais explícitas. No entanto, por muitos anos não houve uma boa definição de uma função teta mock. Isso mudou em 2001, quando Zwegers descobriu a relação com formas modulares não holomorfas, somas de Lerch e séries teta indefinidas. Zwegers mostrou, utilizando o trabalho anterior de Watson e Andrews, que as funções teta mock de ordens 3, 5 e 7 podem ser escritas como a soma de uma forma fraca de Maass de peso e uma função que é limitada ao longo de geodésicas que terminam em cúspides. A forma fraca de Maass tem autovalor sob o laplaciano hiperbólico (o mesmo valor que as formas modulares holomorfas de peso ); entretanto, ela cresce exponencialmente rápido perto das cúspides, de modo que não satisfaz a condição usual de crescimento para funções de onda de Maass. Zwegers provou esse resultado de três maneiras diferentes, relacionando as funções teta mock às funções teta de Hecke de reticulados indefinidos de dimensão 2, a somas de Appell–Lerch e a formas de Jacobi meromorfas.
O resultado fundamental de Zwegers mostra que as funções teta mock são as "partes holomorfas" das formas modulares analíticas reais de peso . Isso permite estender muitos resultados sobre formas modulares às funções teta mock. Em particular, assim como as formas modulares, as funções teta mock encontram-se todas em determinados espaços de dimensão finita explícitos, o que reduz as longas e difíceis provas de muitas identidades entre elas à álgebra linear rotineira. Pela primeira vez tornou-se possível produzir um número infinito de exemplos de funções teta mock; antes deste trabalho, havia apenas cerca de 50 exemplos conhecidos (a maioria dos quais foi encontrada pela primeira vez por Ramanujan). Como aplicações adicionais das ideias de Zwegers, Kathrin Bringmann e Ken Ono mostraram que certas q-séries decorrentes da série hipergeométrica básica de Rogers-Fine estão relacionadas às partes holomorfas das formas fracas harmônicas de Maass de peso e mostraram que a série assintótica para os coeficientes da função teta mock de ordem 3 f(q) estudada por George Andrews e Leila Dragonette converge para os coeficientes. Em particular, as funções teta mock têm expansões assintóticas nas cúspides do grupo modular, agindo no semiplano superior, que se assemelham às das formas modulares de peso com polos nas cúspides.
Definição Uma forma modular mock será definida como a "parte holomorfa" de uma forma fraca harmônica de Maass.
Fixe um peso k, geralmente com 2k inteiro. Fixe um subgrupo Γ de SL2(Z) (ou do grupo metaplético se k for semi-inteiro) e um caráter ρ de Γ. Uma forma modular f para este caráter e este grupo Γ se transforma sob os elementos de Γ por
Uma forma fraca de Maass de peso k é uma função contínua no semiplano superior que se transforma como uma forma modular de peso k e é uma autofunção do operador laplaciano de peso k, e é chamada de harmônica se seu autovalor for . Este é o autovalor das formas modulares holomorfas de peso k, então todos esses são exemplos de formas fracas harmônicas de Maass. (Uma forma de Maass é uma forma fraca de Maass que decresce rapidamente nas cúspides.) Então, uma forma fraca harmônica de Maass é anulada pelo operador diferencial
Se F for qualquer forma fraca harmônica de Maass, então a função g dada por
é holomorfa e se transforma como uma forma modular de peso k, embora possa não ser holomorfa nas cúspides. Se pudermos encontrar qualquer outra função g* com a mesma imagem g, então F − g* será holomorfa. Tal função é dada invertendo o operador diferencial por integração; por exemplo, podemos definir
onde
é essencialmente a função gama incompleta. A integral converge sempre que g tem um zero na cúspide i∞, e a função gama incompleta pode ser estendida por continuação analítica, de modo que esta fórmula pode ser usada para definir a parte holomorfa g* de F mesmo no caso em que g é meromorfa em i∞, embora isso exija algum cuidado se k for 1 ou não inteiro ou se n = 0. O inverso do operador diferencial está longe de ser único, pois podemos adicionar qualquer função homomorfa a g* sem afetar sua imagem, e como resultado a função g* não precisa ser invariante sob o grupo Γ. A função h = F − g* é chamada de parte holomorfa de F.
Uma forma modular mock é definida como a parte holomorfa h de alguma forma fraca harmônica de Maass F. Assim, há um isomorfismo do espaço de formas modulares mock h para um subespaço das formas fracas harmônicas de Maass.
A forma modular mock h é holomorfa, mas não totalmente modular, enquanto h + g* é modular, mas não totalmente holomorfa. O espaço das formas modulares mock de peso k contém o espaço das formas quase modulares ("formas modulares que podem ser meromorfas nas cúspides") de peso k como um subespaço. O quociente é (antilinearmente) isomórfico ao espaço das formas modulares holomorfas de peso 2 − k. A forma modular de peso (2 − k) g correspondente a uma forma modular mock h é chamada de sua sombra. É bastante comum que funções teta mock diferentes tenham a mesma sombra. Por exemplo, as 10 funções teta mock de ordem 5 encontradas por Ramanujan se dividem em dois grupos de 5, onde todas as funções em cada grupo têm a mesma sombra (a menos da multiplicação por uma constante).
Don Zagier define uma função teta mock como uma potência racional de vezes uma forma modular mock de peso cuja sombra é uma série teta da forma
para um κ racional positivo e uma função periódica ímpar ε. (Qualquer série teta deste tipo é uma forma modular de peso ). A potência racional de q é um acidente histórico.
A maioria das formas modulares mock e formas fracas de Maass têm um crescimento rápido nas cúspides. É comum impor a condição de que cresçam, no máximo, de forma exponencialmente rápida nas cúspides (o que, para as formas modulares mock, significa que elas são "meromorfas" nas cúspides). O espaço das formas modulares mock (de dado peso e grupo) cujo crescimento é limitado por alguma função exponencial fixa nas cúspides é de dimensão finita.
Somas de Appell–Lerch Somas de Appell-Lerch, uma generalização das séries de Lambert, foram inicialmente estudadas por Paul Émile Appell e Mathias Lerch. Watson estudou as funções teta mock de ordem 3 expressando-as em termos de somas de Appell-Lerch, e Zwegers as utilizou para mostrar que as funções teta mock são essencialmente formas modulares mock.
A série de Appell–Lerch é
onde
e
A série modificada
onde
e y = Im(τ) e
satisfaz as seguintes propriedades de transformação
Em outras palavras, a série modificada de Appell-Lerch se transforma como uma forma modular em relação a τ. Como as funções teta mock podem ser expressas em termos de séries de Appell-Lerch, isso significa que as funções teta mock se transformam como formas modulares caso a elas seja adicionada uma certa série não analítica.
Séries teta indefinidas George Andrews mostrou que várias das funções teta mock de quinta ordem de Ramanujan são iguais aos quocientes onde θ(τ) é uma forma modular de peso e Θ(τ) é uma função teta de uma indefinida forma quadrática binária, e Dean Hickerson provou resultados semelhantes para funções teta mock de sétima ordem. Zwegers mostrou como completar as funções teta indefinidas para produzir formas modulares analíticas reais e usou isso para dar outra prova da relação entre as funções teta mock e as funções de onda de Maass fracas.
Formas de Jacobi meromorfas George Andrews observou que algumas das funções teta mock de quinta ordem de Ramanujan poderiam ser expressas em termos de quocientes das funções teta de Jacobi. Zwegers usou essa ideia para expressar as funções teta mock como coeficientes de Fourier de formas de Jacobi meromorfas.
Aplicações Ruth Lawrence e Don Zagier relacionaram funções teta mock a invariantes quânticos de 3-variedades. A. M. Semikhatov, A. Taormina e I. Yu Tipunin relacionaram funções teta mock a superálgebras de Lie de dimensão infinita e à teoria de campos conformes bidimensional. J. Troost mostrou que as completações modulares de formas modulares mock surgem como gêneros elípticos de teorias de campos conformes com espectro contínuo. As funções teta mock aparecem na teoria do moonshine umbral. Atish Dabholkar, Sameer Murthy e Don Zagier mostraram que as formas modulares mock estão relacionadas com as degenerescências dos buracos negros quânticos nas teorias de cordas N=4.
Exemplos Qualquer forma modular de peso k (possivelmente apenas meromorfa nas cúspides) é uma forma modular mock de peso k com sombra 0. A série de Eisenstein quase-modular
de peso 2 e nível 1 é uma forma modular mock de peso 2, cuja sombra é uma constante. Isso significa que
transforma-se como uma forma modular de peso 2 (onde τ = x + iy).
A função estudada por Don Zagier com coeficientes de Fourier que são números de classe de Hurwitz H(N) de corpos quadráticos imaginários é uma forma modular mock de peso , nível 4 e sombra Σ q n2. A forma de onda fraca de Maass correspondente é
onde
e y = Im(τ), .
As funções teta mock são formas modulares mock de peso cuja sombra é uma função teta unária, multiplicada por uma potência racional de q (por razões históricas). Antes de o trabalho de Zwegers levar a um método geral para construí-las, a maioria dos exemplos foi dada como funções hipergeométricas básicas, mas isso é em grande parte um acidente histórico, e a maioria das funções teta mock não tem uma expressão simples conhecida em termos de tais funções.
As funções teta mock "triviais" são as formas modulares (holomorfas) de peso , que foram classificadas por Serre e Stark, os quais mostraram que todas poderiam ser escritas em termos de funções teta de reticulados de dimensão 1.
Os exemplos a seguir usam os símbolos q-Pochhammer (a;q)n que são definidos como:
Ordem 2