O teorema da utilidade de von Neumann-Morgenstern, teorema vital para a teoria da decisão, demonstra que a escolha racional sob incerteza envolve a tomada de decisões que visam maximizar o valor esperado de alguma função de utilidade cardinal, ou seja, uma função cuja saída expressa não apenas expressa a relação de preferência das possíveis saídas, mas a intensidade da preferência. O teorema constitui a base da teoria da utilidade esperada .

Em 1947, John von Neumann e Oskar Morgenstern provaram que qualquer indivíduo cujas preferências satisfaçam quatro axiomas possui uma função de utilidade, onde as preferências desse indivíduo podem ser representadas em uma escala intervalar. Ou seja, eles provaram que um agente é VNM-racional se e somente se existe uma função u: X → (definida sobre o conjunto de resultados possíveis X) tal que toda preferência do agente é caracterizada pela maximização do valor esperado de u. Esta função é denominada utilidade VNM do agente. É importante ressaltar que o teorema não postula um "desejo consciente" do agente em maximizar u; o objetivo é garantir, formalmente, a existência de tal função como uma representação matemática do comportamento observado.

Essa função e suas transformações afins positivas (como multiplicá-la por um escalar positivo ou somar uma constante) são as únicas representações capazes de descrever tais preferências de forma consistente.

A utilidade VNM é uma utilidade de decisão, pois é usada para descrever decisões . Ela está relacionada, mas não necessariamente é equivalente, à utilidade do utilitarismo de Bentham.

O Set-up No teorema, um agente individual depara-se com opções denominadas loterias. Dados alguns resultados mutuamente exclusivos, uma loteria é um cenário onde cada resultado ocorre com uma probabilidade determinada, sendo a soma de todas as probabilidades igual a um. Por exemplo, para dois resultados A e B ,

descreve um cenário onde P(A) = 25% é a probabilidade de A ocorrer e P(B) = 75% sendo que apenas um deles ocorrerá. De forma mais geral, para uma loteria com muitos resultados possíveis Ai, escrevemos:

com

Os resultados em uma loteria podem, por sua vez, ser loterias envolvendo outros resultados (loterias compostas). Nesses casos, a obtenção dos eventos finais é calculada de forma equivalente à de uma loteria simples, embora com mais passos: 0,5(0,5 A + 0,5 B) + 0,5 C = 0,25 A + 0,25 B + 0,50 C.

Se a loteria M for preferida à loteria L, escrevemos ou, equivalentemente, Se o agente for indiferente entre L e M, escrevemos a relação de indiferença Se M for preferido em relação a L ou visto com indiferença em relação a L, escrevemos

Os axiomas Os quatro axiomas da racionalidade VNM são completude, transitividade, continuidade e independência. Esses axiomas, com exceção da continuidade, são frequentemente justificados pelos teoremas do livro holandês (enquanto a continuidade é usada para descartar utilidades lexicográficas ou infinitesimais).

Axioma 1 (Completude) Para quaisquer loterias e , temos necessariamente que ou .

(o indivíduo deve expressar alguma preferência ou indiferença ). Observe que isso implica reflexividade, uma vez que , logo .

Axima 2 (Transitividade): Se e , então .

O Axioma 1 e o Axioma 2, juntos, podem ser reformulados como a afirmação de que a preferência do indivíduo é uma pré-ordem total.

Axioma 3 (Continuidade): A continuidade pressupõe a existência de um "ponto de indiferença/equilíbrio" entre ser melhor ou pior do que uma determinada opção intermediária:

Se , então existe uma probabilidade de modo que

Em vez de continuidade, pode-se assumir a propriedade arquimediana, que não envolve uma igualdade exata. Ela afirma que qualquer separação de preferências é mantida sob um desvio suficientemente pequeno nas probabilidades:

Axioma 3′ (Propriedade Arquimediana): Se , então existe uma probabilidade de modo que

Apenas uma das condições (3) ou (3′) precisa ser assumida, pois a outra será implícita pelo teorema.

Axioma 4 (Independência): Pressupõe que a preferência entre duas loterias se mantém inalterada independentemente da introdução de um terceiro resultado comum a ambas.

Para qualquer e (com a parte "irrelevante", , da loteria sublinhada):

Em outras palavras, os termos comuns aos dois lados (envolvendo ) "cancelam-se", não afetando a decisão, pois a probabilidade de ocorrer é a mesma em ambas as opções.

Note que a condição "se" é necessária para que o teorema funcione.

Sem ela, é possível contruir um contra exemplo problemático: tendo apenas dois resultados possíveis, e o agente é indiferente em mas prefere estritamente todas essas misturas ao resultado puro . Isso impossibilitaria a representação por uma função de utilidade linear.

Mas, usando a direção "se", podemos argumentar que implica excluindo, portanto, este contraexemplo.

O axioma da independência implica o axioma sobre a redução de loterias compostas:

Axioma 4′ (Redução de loterias compostas): Para quaisquer loterias e qualquer ,

Para entender como o Axioma 4 implica o Axioma 4', basta colocar e condicionados por 1-p como e foram no axioma 4, e por p como foi.

O teorema Para qualquer agente VNM-racional (ou seja, que satisfaça os axiomas 1–4), existe uma função u que atribui a cada resultado A um número real u(A) tal que para quaisquer duas loterias,

onde E(u(L)), ou mais brevemente Eu(L), é dado por

Com sendo as probabilidades associadas aos resultados respectivos. Assim, u pode ser determinado por preferências entre loterias simples, ou seja, aquelas da forma pA+(1−p)B tendo apenas dois resultados. Por outro lado, as preferências de qualquer agente que atue para maximizar a expectativa de uma função u obedecerão aos axiomas 1–4. Tal função é chamada de utilidade de von Neumann–Morgenstern (VNM) do agente.

Esboço de prova A demonstração é construtiva: ela mostra como a função desejada pode ser encontrada. Aqui descrevemos o processo de construção para o caso em que o número de resultados certos é finito.

Supomos que existam n resultados certos, Note que todo resultado certo pode ser visto como uma loteria: trata-se de uma loteria degenerada na qual o resultado é selecionado com probabilidade 1. Portanto, pelos axiomas de Completude e Transitividade, é possível ordenar os resultados do pior para o melhor:

Assumimos que pelo menos uma das desigualdades é estrita (caso contrário, a função de utilidade é trivial — uma constante). Portanto, Utilizamos esses dois resultados extremos — o pior e o melhor — como unidade de escala da nossa função de utilidade e definimos:

and

Observe que e .

Pelo axioma da continuidade, para todo resultado certo , existe uma probabilidade de modo que:

.

Portanto temos

.

Para cada , a função de utilidade para o resultado é definida como

então a utilidade de cada loteria é a expectativa de u :

Para entender por que essa função de utilidade é consistente com as preferências dadas, considere uma loteria. , que seleciona o resultado com probabilidade . Como, segundo nossa hipótese, o tomador de decisões é indiferente entre o resultado certo e o resultado incerto. e a loteria , pelo axioma da redução, ele é indiferente entre a loteria e a seguinte loteria:

A loteria É, na verdade, uma loteria em que o melhor resultado é ganho com probabilidade. E, caso contrário, o pior resultado possível.

Como para quaisquer dois agentes VNM X e Y, suas funções de utilidade VNM uX e uY são determinadas apenas a menos de constantes aditivas e escalares positivos. Isso significa que, assim como ocorre com as escalas de temperatura, por exemplo, o 'zero' e a 'unidade de medida' da utilidade são arbitrários para cada indivíduo. Portanto, expressões como uX(L) +uY(L) e uX(L) − uY(L) não são definidos canonicamente, nem comparações como uX(L) < uY(L) são canonicamente verdadeiras ou falsas. Em particular, a referida 'utilidade VNM total' e a 'utilidade VNM média' de uma população não possuem significado canônico sem hipóteses de normalização."

Como para quaisquer dois agentes VNM X e Y, suas funções de utilidade VNM uX e uY são determinadas apenas a menos de constantes aditivas e escalares positivos. Isso significa que, assim como ocorre com as escalas de temperatura, o 'zero' e a 'unidade de medida' da utilidade são arbitrários para cada indivíduo. Portanto, expressões como uX(L) +uY(L) e uX(L) − uY(L) não são definidos canonicamente, nem comparações como uX(L) < uY(L) são canonicamente verdadeiras ou falsas. Em particular, a referida 'utilidade VNM total' e a 'utilidade VNM média' de uma população não possuem significado canônico sem hipóteses de normalização."

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Reação Von Neumann e Morgenstern anteciparam surpresa quanto à força de sua conclusão. Mas, segundo eles, a função de utilidade funciona por ser construída precisamente para desempenhar o papel de algo cuja expectativa é maximizada:"Muitos economistas acharão que estamos assumindo muito(...) Não mostramos demais?(...) Até onde podemos ver, nossos postulados são plausíveis(...) Definimos, na prática, a utilidade numérica como aquilo para o qual o cálculo das expectativas matemáticas é legítimo." – VNM 1953, § 3.1.1 p.16 e § 3.7.1 p. 28 Assim, o conteúdo do teorema é que a construção de u é possível, e eles pouco afirmam sobre sua natureza.

Consequências

Consideração automática da aversão ao risco

É comum que, diante de situações reais de risco financeiro, uma pessoa não aja visando maximizar o valor esperado de seus ativos em reais. Por exemplo, alguém com apenas R$ 1.000 em economias pode hesitar em arriscar tudo por uma chance de 20% de ganhar R$ 10.000, mesmo que...

No entanto, se a pessoa for racional segundo o modelo VNM, esses fatos são automaticamente considerados em sua função de utilidade u . Neste exemplo, poderíamos concluir que

onde os valores em real aqui representam, na verdade, resultados, as três situações possíveis que o indivíduo pode enfrentar. Em particular, u pode exibir propriedades como u (R$1) + u (R$1) ≠ u (R$2) sem contradizer a racionalidade VNM. Isso leva a uma teoria quantitativa da aversão ao risco monetário.

Implicações para a hipótese da utilidade esperada Em 1738, Daniel Bernoulli publicou um tratado no qual postula que o comportamento racional pode ser descrito como a maximização o valor esperado de uma função u, que não precisa estar atrelada ao valor monetário nominal, explicando assim a aversão ao risco. Esta é a hipótese da utilidade esperada. O objetivo do teorema da utilidade esperada é fornecer "condições modestas" (ou seja, axiomas) que descrevam quando a hipótese da utilidade esperada é válida, as quais podem ser avaliadas direta e intuitivamente:"Os axiomas não devem ser muito numerosos, seu sistema deve ser o mais simples e transparente possível, e cada axioma deve ter um significado intuitivo imediato pelo qual sua adequação possa ser julgada diretamente. Em uma situação como a nossa, este último requisito é particularmente vital, apesar de sua vagueza: queremos tornar um conceito intuitivo passível de tratamento matemático e ver com a maior clareza possível quais hipóteses isso exige." – VNM 1953 § 3.5.2, p. 25 Assim, as afirmações de que a hipótese da utilidade esperada não caracteriza a racionalidade devem rejeitar um dos axiomas do VNM. Surgiram diversas teorias generalizadas da utilidade esperada, a maioria das quais abandona ou relaxa o axioma da independência.

Implicações para a ética e a filosofia moral