Na matemática, a homologia de Khovanov é um invariante de enlaces orientados que surge como a coomologia de um complexo de cocadeias. Ela pode ser considerada como uma categorificação do polinômio de Jones.
Foi desenvolvida no final da década de 1990 por Mikhail Khovanov.
Visão geral Para qualquer diagrama de enlace representando um enlace , atribuímos o colchete de Khovanov , um complexo de cocadeias de espaços vetoriais graduados. Este é o análogo do colchete de Kauffman na construção do polinômio de Jones. Em seguida, normalizamos por uma série de deslocamentos de grau (nos espaços vetoriais graduados) e deslocamentos de altura (no complexo de cocadeias) para obter um novo complexo de cocadeias . A coomologia deste complexo de cocadeias revela-se um invariante de , e sua característica de Euler graduada é o polinômio de Jones de .
Definição Esta definição segue o formalismo dado no artigo de 2002 de Dror Bar-Natan.
Seja a operação de deslocamento de grau (degree shift) em espaços vetoriais graduados — isto é, a componente homogênea na dimensão é deslocada para a dimensão .
Da mesma forma, seja a operação de deslocamento de altura (height shift) em complexos de cocadeias — isto é, o -ésimo espaço vetorial ou módulo no complexo é deslocado para a posição , com todos os mapas diferenciais sendo deslocados de acordo.
Seja um espaço vetorial graduado com um gerador de grau 1, e um gerador de grau .
Agora tome um diagrama arbitrário representando um enlace . Os axiomas para o colchete de Khovanov são os seguintes: , onde denota o enlace vazio. , onde O denota um componente trivial não enlaçado.
No terceiro destes axiomas, denota a operação de "achatamento" (flattening), onde um único complexo é formado a partir de um complexo duplo tomando somas diretas ao longo das diagonais. Além disso, denota a 'suavização-0' (0-smoothing) de um cruzamento escolhido em , e denota a 'suavização-1', de forma análoga à relação de skein para o colchete de Kauffman.
A seguir, construímos o complexo 'normalizado' , onde denota o número de cruzamentos à esquerda (left-handed) no diagrama escolhido para , e o número de cruzamentos à direita (right-handed).
A homologia de Khovanov de é então definida como a coomologia deste complexo . Constata-se que a homologia de Khovanov é, de fato, um invariante de , e não depende da escolha do diagrama. A característica de Euler graduada de acaba sendo o polinômio de Jones de . No entanto, foi demonstrado que contém mais informações sobre do que o polinômio de Jones, mas os detalhes exatos ainda não são totalmente compreendidos.
Em 2006, Dror Bar-Natan desenvolveu um programa de computador para calcular a homologia (ou categoria) de Khovanov para qualquer nó.New Scientist, 18 de outubro de 2008
Teorias relacionadas Um dos aspectos mais interessantes da homologia de Khovanov é que suas sequências exatas são formalmente semelhantes àquelas que surgem na homologia de Floer de variedades de dimensão 3. Além disso, ela foi usada para produzir uma nova demonstração de um resultado demonstrado inicialmente usando a teoria de calibre e suas ramificações: a nova demonstração de Jacob Rasmussen de um teorema de Peter Kronheimer e Tomasz Mrowka, anteriormente conhecido como a conjectura de Milnor (veja abaixo). Existe uma sequência espectral que relaciona a homologia de Khovanov com a homologia de Floer de nós de Peter Ozsváth e Zoltán Szabó (Dowlin 2018). Esta sequência espectral resolveu uma conjectura anterior sobre a relação entre as duas teorias (Dunfield et al. 2005). Outra sequência espectral (Ozsváth-Szabó 2005) relaciona uma variante da homologia de Khovanov com a homologia de Heegaard Floer do revestimento duplo ramificado ao longo de um nó. Uma terceira (Bloom 2009) converge para uma variante da homologia de Floer monopolo do revestimento duplo ramificado. Em 2010, Kronheimer e Mrowka exibiram uma sequência espectral convergindo para o seu grupo de homologia de Floer de nós instântons e usaram isso para mostrar que a Homologia de Khovanov (assim como a homologia de Floer de nós instântons) detecta o nó trivial (unknot).
A homologia de Khovanov está relacionada à teoria de representação da álgebra de Lie . Mikhail Khovanov e Lev Rozansky desde então definiram teorias de homologia associadas a para todo . Em 2003, Catharina Stroppel estendeu a homologia de Khovanov para um invariante de emaranhados (tangles) (uma versão categorificada dos invariantes de Reshetikhin-Turaev) que também se generaliza para para todo .
Paul Seidel e Ivan Smith construíram uma teoria de homologia de nós com graduação simples usando a homologia de Floer de interseção lagrangiana, que eles conjecturam ser isomorfa a uma versão de graduação simples da homologia de Khovanov. Ciprian Manolescu desde então simplificou a construção deles e mostrou como recuperar o polinômio de Jones a partir do complexo de cocadeias subjacente à sua versão do invariante de Seidel-Smith.
A relação com os polinômios de enlaces (nós) No Congresso Internacional de Matemáticos de 2006, Mikhail Khovanov forneceu a seguinte explicação para a relação com os polinômios de nós do ponto de vista da homologia de Khovanov. A relação de skein para três enlaces e é descrita como:
Substituir leva a um polinômio invariante de enlace , normalizado de modo que
Para , o polinômio pode ser interpretado via a teoria de representação do grupo quântico e através da superálgebra de Lie quântica .
O polinômio de Alexander é a característica de Euler de uma teoria de homologia de nós bigraduada. é trivial. O polinômio de Jones é a característica de Euler de uma teoria de homologia de enlaces bigraduada. Todo o polinômio HOMFLY-PT é a característica de Euler de uma teoria de homologia de enlaces trigraduada.
Aplicações A primeira aplicação da homologia de Khovanov foi fornecida por Jacob Rasmussen, que definiu o s-invariante usando a homologia de Khovanov. Este invariante de valor inteiro de um nó fornece um limite para o gênero de fatia (slice genus), e é suficiente para provar a conjectura de Milnor.
Em 2010, Kronheimer e Mrowka provaram que a homologia de Khovanov detecta o nó trivial (unknot). A teoria categorificada possui mais informações do que a teoria não categorificada. Embora a homologia de Khovanov detecte o nó trivial, ainda não se sabe se o polinômio de Jones também o faz.
Notas
Referências
. . . . . . .
Ligações externas Slides manuscritos da palestra de M. Khovanov (em inglês)
Categoria:Teoria da homologia Categoria:Invariantes de nós