Em matemática, um espaço pontilhado ou espaço com base é um espaço topológico com um ponto distinguido, o ponto de base (ou ponto base). O ponto distinguido é simplesmente um ponto particular, escolhido do espaço e nomeado, como que permanece inalterado durante a discussão subsequente e é monitorado durante todas as operações. Exemplos comuns de espaços naturalmente pontuados incluem esferas (com o polo norte como ponto base), intervalos fechados [0,1] (com 0 como ponto base) e grupos topológicos (com o elemento identidade como ponto base).

Aplicações de espaços pontuados (mapas com base) são aplicações contínuas que preservam os pontos base, ou seja, uma aplicação entre um espaço pontuado com ponto base e um espaço pontuado com ponto base é um mapa com base se for contínua em relação às topologias de e e se Isso geralmente é denotado por:

Os espaços pontuados são importantes na topologia algébrica, particularmente na teoria da homotopia, onde muitas construções, como o grupo fundamental, dependem da escolha de um ponto base.

O conceito de conjunto pontuado é menos importante; ele representa, de qualquer forma, o caso de um espaço discreto pontuado.

Espaços pontuados são frequentemente considerados um caso especial da topologia relativa, onde o subconjunto é um único ponto. Assim, grande parte da teoria da homotopia é desenvolvida em espaços pontuados e, posteriormente, transferida para topologias relativas na topologia algébrica.

Categoria de espaços pontuados

A classe de todos os espaços pontuados forma uma categoria Top com aplicações contínuas que preservam o ponto base como morfismos. Outra forma de pensar nesta categoria é como a categoria vírgula ( Top), onde é qualquer espaço de um único ponto e Top é a categoria dos espaços topológicos. (Isso também é chamado de categoria coslice denotada por Top.) Os objetos nesta categoria são aplicações contínuas Tais aplicações podem ser pensadas como a escolha de um ponto base em Morfismos em ( Top) são morfismos em Top para os quais o seguinte diagrama comutativo comuta:

Ficheiro:PointedSpace-01.png

É fácil ver que a comutatividade do diagrama é equivalente à condição de que preserva os pontos base.

Como um espaço pontuado, é um objeto zero em Top, enquanto é apenas um objeto terminal em Top.

Existe um funtor de esquecimento Top Top que "esquece" qual ponto é o ponto base. Este funtor possui um funtor adjunto à esquerda que atribui a cada espaço topológico a união disjunta de e um espaço de um ponto , cujo único elemento é tomado como o ponto base.

Operações em espaços pontuados

Um subespaço de um espaço pontuado é um subespaço topológico que compartilha seu ponto base com , de modo que o mapa de inclusão preserva o ponto base. Pode-se formar o quociente de um espaço pontuado sob qualquer relação de equivalência. O ponto base do quociente é a imagem do ponto base em sob o mapa quociente. Pode-se formar o produto de dois espaços pontuados como o produto topológico com servindo como o ponto base. O coproduto na categoria de espaços pontuados é a soma em cunha (wedge sum), que pode ser pensada como a união de espaços em um único ponto.

O produto smash (smash product) de dois espaços pontuados é essencialmente o quociente do produto direto pela soma em cunha. Gostaríamos de dizer que o produto smash transforma a categoria de espaços pontuados em uma categoria monoidal simétrica com a 0-esfera pontuada como o objeto unidade, mas isso é falso para espaços gerais: a condição de associatividade pode falhar. No entanto, é verdade para algumas categorias de espaços mais restritas, como as de espaços gerados compactamente fracamente Hausdorff. A suspensão reduzida de um espaço pontuado é (a menos de um homeomorfismo) o produto smash de e o círculo pontuado A suspensão reduzida é um funtor da categoria de espaços pontuados para si mesma. Este funtor é adjunto à esquerda do funtor que leva um espaço pontuado ao seu espaço de laços .

Ver também

Categoria de grupos Categoria de espaços métricos Categoria de conjuntos Categoria dos espaços topológicos Categoria de espaços vetoriais topológicos

Bibliografia

Discussão no MathOverflow sobre vários pontos base e grupoides (em inglês)

Categoria:Topologia (matemática) Categoria:Teoria da homotopia Categoria:Espaços topológicos