right|thumb|O grupo de Galois absoluto de é um grupo cíclico de ordem 2, gerado pela conjugação complexa, pois é o fecho separável de e .
Em matemática, em particular na geometria anabeliana e na geometria -ádica, o grupo de Galois absoluto de um corpo é o grupo de Galois de sobre , onde é um fecho separável de . De forma equivalente, pode-se descrevê-lo como o grupo de todos os automorfismos do fecho algébrico de que fixam . O grupo de Galois absoluto é bem definido até automorfismo interno. Trata-se de um grupo profinito.
Quando é um corpo perfeito, o fecho separável coincide com um fecho algébrico de . Em particular, isso ocorre quando tem característica zero ou quando é um corpo finito.
Exemplos Se é algebricamente fechado, então é trivial. Para , o grupo é cíclico de ordem 2 (gerado pela conjugação complexa), pois é o fecho separável de e . Se é um corpo finito, então é isomorfo ao grupo dos inteiros profinitos
A automorfismo de Frobenius fornece um gerador topológico canónico de . Se tem elementos, então a aplicação é para todo em . O grupo de Galois absoluto do corpo de funções racionais com coeficientes complexos é livre (como grupo profinito). Esse resultado é devido a Adrien Douady e relaciona-se ao teorema de existência de Riemann. Mais geralmente, seja um corpo algebricamente fechado e uma indeterminada. Então o grupo de Galois absoluto de é livre de posto igual à cardinalidade de . Esse resultado foi obtido por David Harbater e Florian Pop e, mais tarde, também por Dan Haran e Moshe Jarden por métodos algébricos. Seja uma extensão finita de . Para , o grupo de Galois absoluto de é gerado por elementos e admite uma descrição explícita por geradores e relações. Esse é um resultado de Uwe Jannsen e Kay Wingberg. No caso , existem resultados parciais, mas a estrutura para não é conhecida. Um outro caso em que o grupo de Galois absoluto foi determinado é o do maior subcorpo totalmente real do corpo dos números algébricos.
Problemas Não se conhece uma descrição direta do grupo de Galois absoluto de . Nesse caso, o teorema de Belyi implica que o grupo de Galois absoluto atua fielmente nos dessins d'enfants de Grothendieck (certos grafos/“mapas” em superfícies), o que permite visualizar aspectos da teoria de Galois de corpos de números. Um dos objetivos da geometria anabeliana é avançar nessa direção. Seja a máxima extensão abeliana de . A conjectura de Shafarevich afirma que o grupo de Galois absoluto de é um grupo profinito livre. Um problema ativo é resolver a conjectura de Ján Mináč e Nguyên Duy Tân sobre o aniquilamento de produtos de Massey de ordem para .Mináč & Tân (2016) pp. 255, 284Harpaz & Wittenberg (2023) pp. 1, 41
Alguns resultados gerais O teorema de Neukirch–Uchida afirma que todo isomorfismo entre grupos de Galois absolutos de corpos de números decorre de um automorfismo de corpos. Em particular, dois grupos de Galois absolutos de corpos de números são isomorfos se, e somente se, os corpos de base são isomorfos. Todo grupo profinito ocorre como grupo de Galois de alguma extensão de Galois;Fried & Jarden (2008) p. 12 porém, nem todo grupo profinito aparece como grupo de Galois absoluto. Por exemplo, o teorema de Artin–Schreier implica que os únicos grupos de Galois absolutos finitos são o trivial e o de ordem 2, isto é, há apenas duas classes de isomorfismo possíveis. Todo grupo profinito projetivo pode ser realizado como grupo de Galois absoluto de um corpo pseudo-algebricamente fechado. Esse resultado é devido a Alexander Lubotzky e Lou van den Dries.Fried & Jarden (2008) pp. 208, 545
Uso na geometrização da correspondência local de Langlands
Num trabalho de 2022 sobre a geometrização da correspondência local de Langlands, Laurent Fargues e Peter Scholze procuram recuperar informação sobre um corpo local E a partir do seu grupo de Galois absoluto, que é isomorfo ao grupo fundamental étale de Spec(E). Essa identificação surge no contexto do estudo do grupo de Weil (uma variante do grupo de Galois absoluto) de E. A abordagem envolve interpretar a informação de Spec(E) via o grupo de automorfismos do torsor trivial de sobre Spec(E), conectando-se assim a questões de natureza anabeliana.
Referências
Fontes
Categoria:Teoria de Galois