Em matemática, a teoria da interseção é um dos ramos principais da geometria algébrica, que fornece informações sobre a interseção de duas subvariedades de uma dada variedade.
A teoria para variedades é mais antiga, com raízes no teorema de Bézout sobre curvas e na teoria da eliminação. Por outro lado, a teoria topológica alcançou uma forma definitiva mais rapidamente.
Ainda há um desenvolvimento contínuo da teoria da interseção. Atualmente, o foco principal está em: ciclos fundamentais virtuais, anéis de interseção quântica, teoria de Gromov-Witten e a extensão da teoria da interseção de esquemas para pilhas (ou stacks).
Forma de interseção topológica Para uma variedade orientável conexa de dimensão , a forma de interseção é definida no -ésimo grupo de cohomologia (o que é usualmente chamado de 'dimensão média') pela avaliação do produto cup na classe fundamental em . Expressa com precisão, existe uma forma bilinear
dada por
com
Esta é uma forma bilinear simétrica para par (de modo que , duplamente par), caso em que a assinatura de é definida como a assinatura da forma; e uma forma alternada para ímpar (de modo que é singularmente par). Estas podem ser referidas uniformemente como formas -simétricas, onde respectivamente para formas simétricas e anti-simétricas. É possível, em algumas circunstâncias, refinar essa forma para uma forma -quadrática, embora isso exija dados adicionais, como um referencial (framing) do fibrado tangente. É possível abandonar a condição de orientabilidade e trabalhar com coeficientes em em vez disso.
Essas formas são invariantes topológicos importantes. Por exemplo, um teorema de Michael Freedman afirma que variedades de dimensão 4 compactas e simplesmente conexas são (quase) determinadas por suas formas de interseção a menos de homeomorfismo.
Pela dualidade de Poincaré, verifica-se que há uma maneira de pensar nisso geometricamente. Se possível, escolha subvariedades representativas de dimensão , e , para os duais de Poincaré de e . Então é o número de interseção orientado de e , o qual é bem definido porque, como as dimensões de e somam a dimensão total de , elas genericamente se cruzam em pontos isolados. Isso explica a terminologia forma de interseção.
Teoria da interseção na geometria algébrica William Fulton em Intersection Theory (1984) escreve:
> ... se e são subvariedades de uma variedade não singular , o produto de interseção deve ser uma classe de equivalência de ciclos algébricos intimamente relacionada à geometria de como , e estão situados em . Dois casos extremos têm sido mais familiares. Se a interseção é própria, ou seja, , então é uma combinação linear das componentes irredutíveis de , com coeficientes sendo as multiplicidades de interseção. No outro extremo, se é uma subvariedade não singular, a fórmula de auto-interseção diz que é representado pela classe de Chern superior do fibrado normal de em .
Dar uma definição, no caso geral, da multiplicidade de interseção foi a principal preocupação do livro de 1946 de André Weil, Foundations of Algebraic Geometry. O trabalho na década de 1920 de B. L. van der Waerden já havia abordado a questão; na escola italiana de geometria algébrica as ideias eram bem conhecidas, mas questões fundamentais não eram abordadas com o mesmo rigor.
Movendo ciclos Uma maquinaria que funcione bem para interseccionar ciclos algébricos e exige mais do que apenas tomar a interseção em termos da teoria dos conjuntos dos ciclos em questão. Se os dois ciclos estão em "boa posição", então o produto de interseção, denotado , deve consistir na interseção (conjuntista) das duas subvariedades. No entanto, os ciclos podem estar em má posição, por exemplo, duas retas paralelas no plano, ou um plano contendo uma reta (se cruzando no espaço 3D).
Em ambos os casos, a interseção deveria ser um ponto, porque, novamente, se um ciclo for movido, essa seria a interseção. A interseção de dois ciclos e é chamada de própria se a codimensão da interseção (conjuntista) for a soma das codimensões de e , respectivamente, ou seja, o valor "esperado".
Portanto, utiliza-se o conceito de mover ciclos usando relações de equivalência apropriadas sobre ciclos algébricos. A equivalência deve ser ampla o suficiente para que, dados quaisquer dois ciclos e , existam ciclos equivalentes e de modo que a interseção seja própria. Por outro lado, para um segundo par equivalente e , a interseção precisa ser equivalente a .
Para os propósitos da teoria da interseção, a equivalência racional é a mais importante. Resumidamente, dois ciclos de dimensão em uma variedade são racionalmente equivalentes se existe uma função racional em uma subvariedade de dimensão , isto é, um elemento do corpo de funções ou equivalentemente uma função , tal que , onde é contado com multiplicidades. A equivalência racional atende às necessidades descritas acima.
Multiplicidades de interseção
[Image of intersection of a parabola and a line]
O princípio orientador na definição de multiplicidades de interseção de ciclos é a continuidade em um certo sentido. Considere o seguinte exemplo elementar: a interseção de uma parábola e um eixo deve ser , porque se um dos ciclos se mover (mesmo em um sentido indefinido), existem precisamente dois pontos de interseção que ambos convergem para quando os ciclos se aproximam da posição representada.
A primeira definição totalmente satisfatória de multiplicidades de interseção foi dada por Jean-Pierre Serre: Seja a variedade ambiente suave (ou todos os anéis locais regulares). Além disso, sejam e duas subvariedades (fechadas reduzidas irredutíveis), de modo que sua interseção seja própria. A construção é local, portanto as variedades podem ser representadas por dois ideais e no anel de coordenadas de . Seja uma componente irredutível da interseção conjuntista e seu ponto genérico. A multiplicidade de no produto de interseção é definida por:
a soma alternada sobre o comprimento sobre o anel local de em dos grupos de torção dos anéis quocientes correspondentes às subvariedades. Esta expressão é por vezes referida como a Fórmula Tor de Serre.
Observações: O primeiro somando, o comprimento de
é a suposição "ingênua" da multiplicidade; no entanto, como Serre mostra, não é suficiente. A soma é finita, porque o anel local regular tem dimensão-Tor finita. Se a interseção de e não for própria, a multiplicidade acima será zero. Se for própria, é estritamente positiva. (Ambas as afirmações não são óbvias a partir da definição). Usando um argumento de sequência espectral, pode-se mostrar que .
O anel de Chow
O anel de Chow é o grupo de ciclos algébricos módulo equivalência racional junto com o seguinte produto de interseção comutativo:
sempre que e se encontram adequadamente, onde é a decomposição da interseção conjuntista em componentes irredutíveis.
Auto-interseção Dadas duas subvariedades e , pode-se tomar a sua interseção , mas também é possível, embora mais sutil, definir a auto-interseção de uma única subvariedade.
Dada, por exemplo, uma curva numa superfície , a sua interseção consigo mesma (como conjuntos) é apenas ela mesma: . Isto é claramente correto, mas por outro lado insatisfatório: dadas quaisquer duas curvas distintas numa superfície (sem nenhum componente em comum), elas se cruzam num determinado conjunto de pontos, que por exemplo pode-se contar, obtendo-se um número de interseção, e podemos desejar fazer o mesmo para uma dada curva: a analogia é que cruzar curvas distintas é como multiplicar dois números: , enquanto a auto-interseção é como elevar ao quadrado um único número: . Formalmente, a analogia é declarada como uma forma bilinear simétrica (multiplicação) e uma forma quadrática (elevação ao quadrado).
Uma solução geométrica para isso é interceptar a curva não consigo mesma, mas com uma versão sua ligeiramente deslocada. No plano, isto significa apenas transladar a curva em alguma direção, mas em geral fala-se em tomar uma curva que seja linearmente equivalente a , e contar a interseção , obtendo-se assim um número de interseção, denotado . Note que, ao contrário de curvas distintas e , os pontos reais de interseção não estão definidos, porque dependem da escolha de , mas os "pontos de auto-interseção de " podem ser interpretados como pontos genéricos em , onde . Mais adequadamente, o ponto de auto-interseção de é o ponto genérico de , tomado com multiplicidade .
Como alternativa, pode-se "resolver" (ou motivar) esse problema algebricamente por dualização e observando a classe de – isto fornece tanto um número quanto levanta a questão de uma interpretação geométrica. Note-se que passar para classes de cohomologia é análogo a substituir uma curva por um sistema linear.
Observe que o número de auto-interseção pode ser negativo, conforme ilustra o exemplo abaixo.
Exemplos Considere uma reta no plano projetivo : tem número de auto-interseção 1 uma vez que todas as outras retas a cruzam uma vez: pode-se deslocar para , e (para qualquer escolha) de , logo . Em termos de formas de interseção, dizemos que o plano tem uma do tipo (existe apenas uma classe de retas, e todas se interceptam entre si).
Note que no plano afim (o plano euclidiano), pode-se deslocar para uma reta paralela, de modo que (pensando geometricamente) o número de pontos de interseção depende da escolha do deslocamento. Diz-se que "o plano afim não possui uma boa teoria de interseção", e a teoria da interseção em variedades não-projetivas é muito mais difícil.
Uma reta em (que também pode ser interpretada como a quádrica não singular em ) possui auto-interseção , já que uma reta pode ser movida para fora de si mesma. (É uma superfície regrada). Em termos de formas de interseção, dizemos que tem uma do tipo – existem duas classes básicas de retas, que se cruzam em um ponto (), mas têm zero de auto-interseção (sem termos ou ).
Blow-ups (Explosões)
Um exemplo chave de números de auto-interseção é a curva excepcional de um blow-up (ou explosão), que é uma operação central na geometria birracional. Dada uma superfície algébrica , fazer o blow-up num ponto cria uma curva . Esta curva é reconhecível pelo seu gênero, que é , e pelo seu número de auto-interseção, que é . (Isto não é óbvio.) Note-se que como corolário, e são superfícies mínimas (elas não são blow-ups), pois não possuem quaisquer curvas com auto-interseção negativa. De fato, o teorema de contração de Castelnuovo (por Guido Castelnuovo) afirma o inverso: toda curva é a curva excepcional de algum blow-up (ela pode ser "contraída" ou blown down).
Ver também Grupo de Chow Teorema de Grothendieck–Riemann–Roch Geometria enumerativa
Bibliografia
Categoria:Geometria algébrica