Na matemática, o grupo icosaédrico binário 2I ou ⟨2,3,5⟩Coxeter&Moser: Generators and Relations for discrete groups: <l,m,n>: Rl = Sm = Tn = RST é um certo grupo não abeliano de ordem 120. Ele é uma extensão do grupo icosaédrico I ou (2,3,5) de ordem 60 pelo grupo cíclico de ordem 2, e é a pré-imagem do grupo icosaédrico sob o homomorfismo de recobrimento 2:1

do grupo ortogonal especial pelo grupo de spin. Segue-se que o grupo icosaédrico binário é um subgrupo discreto de Spin(3) de ordem 120.

Ele não deve ser confundido com o grupo icosaédrico completo, que é um grupo diferente de ordem 120, e sim um subgrupo do grupo ortogonal O(3).

Na álgebra dos quatérnios, o grupo icosaédrico binário é concretamente realizado como um subgrupo discreto dos versores, que são os quatérnios de norma um. Para mais informações, veja quatérnios e rotações espaciais.

Elementos 250px|thumb|120 elementos quaterniônicos vistos em projeção de 12 dobras. As ordens dos elementos são dadas: 1,2,3,4,5,6,10 Explicitamente, o grupo icosaédrico binário é dado como a união de todas as permutações pares dos seguintes vetores:

8 permutações pares de 16 permutações pares de 96 permutações pares de

Aqui é a proporção áurea.

No total, existem 120 elementos, a saber, os icosianos unitários. Todos eles têm magnitude unitária e, portanto, residem no grupo dos quatérnios unitários Sp(1).

Os 120 elementos no espaço quadridimensional correspondem aos 120 vértices do 600-células (hexacosícoro), um 4-politopo regular.

Propriedades

Extensão central O grupo icosaédrico binário, denotado por 2I, é a extensão central perfeita universal do grupo icosaédrico, e portanto é quase-simples: é uma extensão central perfeita de um grupo simples.

Explicitamente, ele se encaixa na sequência exata curta

Esta sequência não cinde (split), o que significa que 2I não é um produto semidireto de { ±1 } por I. De fato, não há nenhum subgrupo de 2I isomorfo a I.

O centro de 2I é o subgrupo { ±1 }, de modo que o grupo de automorfismos internos é isomorfo a I. O grupo de automorfismos completo é isomorfo a S5 (o grupo simétrico em 5 letras), da mesma forma que para - qualquer automorfismo de 2I fixa o elemento não trivial do centro (), consequentemente descendendo para um automorfismo de I; e inversamente, qualquer automorfismo de I pode ser elevado a um automorfismo de 2I, já que o levantamento dos geradores de I formam geradores para 2I (levantamentos diferentes fornecem o mesmo automorfismo).

Superperfeito O grupo icosaédrico binário é um grupo perfeito, o que significa que é igual ao seu subgrupo comutador. De fato, 2I é o único grupo perfeito de ordem 120. Segue-se que 2I não é um grupo solúvel.

Além disso, o grupo icosaédrico binário é um grupo superperfeito, o que abstratamente significa que seus dois primeiros grupos de homologia de grupos se anulam: Concretamente, isso significa que sua abelianização é trivial (não possui quocientes abelianos não triviais) e que seu multiplicador de Schur é trivial (não tem extensões centrais perfeitas não triviais). De fato, o grupo icosaédrico binário é o menor grupo superperfeito (não trivial).

O grupo icosaédrico binário não é um grupo acíclico, no entanto, já que Hn(2I,Z) é cíclico de ordem 120 para n = 4k+3, e trivial para os outros valores de n > 0, .

Isomorfismos Concretamente, o grupo icosaédrico binário é um subgrupo de Spin(3) e recobre o grupo icosaédrico, que é um subgrupo de SO(3). Abstratamente, o grupo icosaédrico é isomorfo às simetrias do 4-simplexo, que é um subgrupo de SO(4), e o grupo icosaédrico binário é isomorfo ao seu recobrimento duplo em Spin(4). Note que o grupo simétrico possui uma representação de 4 dimensões (sua representação irredutível usual de dimensão mais baixa como as simetrias completas do -simplexo), e que as simetrias completas do 4-simplexo são assim dadas por e não pelo grupo icosaédrico completo (estes são dois grupos diferentes de ordem 120).

O grupo icosaédrico binário pode ser considerado como o duplo recobrimento do grupo alternante denotado este isomorfismo recobre o isomorfismo do grupo icosaédrico com o grupo alternante . Assim como é um subgrupo discreto de , é um subgrupo discreto do recobrimento duplo de , a saber . O homomorfismo 2-1 de para se restringe então ao homomorfismo 2-1 de para .

Pode-se mostrar que o grupo icosaédrico binário é isomorfo ao grupo linear especial SL(2,5) — o grupo de todas as matrizes 2×2 sobre o corpo finito F5 com determinante igual a 1; isso recobre o isomorfismo excepcional de com o grupo linear especial projetivo PSL(2,5). Note também o isomorfismo excepcional que é um grupo diferente de ordem 120, com o quadrado comutativo de SL, GL, PSL, PGL sendo isomorfo a um quadrado comutativo de os quais são isomorfos a subgrupos do quadrado comutativo de Spin(4), Pin(4), SO(4), O(4).

Apresentação

O grupo 2I tem uma apresentação dada por

ou equivalentemente,

Os geradores no grupo dos quatérnios unitários com essas relações são dados por

Subgrupos 320px|thumb|Subgrupos: • Grupo tetraédrico binário: 2T=⟨2,3,3⟩ • 3 grupos diedrais binários: Q20=⟨2,2,5⟩, Q12=⟨2,2,3⟩, Q8=⟨2,2,2⟩ • 3 grupos cíclicos binários: Z10=⟨5⟩, Z6=⟨3⟩, Z4=⟨2⟩ • 3 grupos cíclicos: Z5=(5), Z3=(3), Z2=(2) • 1 grupo trivial: ( ) O único subgrupo normal próprio de 2I é o centro { ±1 }.

Pelo terceiro teorema do isomorfismo, há uma conexão de Galois entre os subgrupos de 2I e os subgrupos de I, onde o operador de fecho sobre os subgrupos de 2I é a multiplicação por { ±1 }.

é o único elemento de ordem 2, portanto, ele está contido em todos os subgrupos de ordem par: assim, cada subgrupo de 2I tem ordem ímpar ou é a pré-imagem de um subgrupo de I.

Além dos grupos cíclicos gerados por diversos elementos (que podem ter ordem ímpar), os únicos outros subgrupos de 2I (a menos de conjugação) são: em GroupNames

Grupos diedrais binários, Dic5=Q20=⟨2,2,5⟩, de ordem 20 e Dic3=Q12=⟨2,2,3⟩ de ordem 12 O grupo dos quatérnios, Q8=⟨2,2,2⟩, consistindo nas 8 unidades de Lipschitz forma um subgrupo de índice 15, o qual também é o grupo dicíclico Dic2; isto recobre o estabilizador de uma aresta. As 24 unidades de Hurwitz formam um subgrupo de índice 5 chamado de grupo tetraédrico binário; isto recobre um grupo tetraédrico quiral. Este grupo é auto-normalizador, portanto sua classe de conjugação possui 5 membros (isso dá um mapa cuja imagem é ).

Relação com grupos de simetria de 4 dimensões

O análogo de 4 dimensões do grupo de simetria icosaédrica Ih é o grupo de simetria do 600-células (e também o do seu dual, o 120-células). Assim como o primeiro é o grupo de Coxeter do tipo H3, o segundo é o grupo de Coxeter do tipo H4, também denotado como [3,3,5]. Seu subgrupo rotacional, denotado por [3,3,5]+ é um grupo de ordem 7200 que reside em SO(4). SO(4) tem um recobrimento duplo chamado Spin(4) de maneira muito semelhante a qual Spin(3) é o recobrimento duplo de SO(3). Semelhante ao isomorfismo Spin(3) = Sp(1), o grupo Spin(4) é isomorfo a Sp(1) × Sp(1).

A pré-imagem de [3,3,5]+ em Spin(4) (um análogo quadridimensional de 2I) é precisamente o grupo produto 2I × 2I de ordem 14400. O grupo de simetria rotacional do 600-células é então [3,3,5]+ = ( 2I × 2I ) / { ±1 }.

Vários outros grupos de simetria quadridimensionais podem ser construídos a partir de 2I. Para mais detalhes, veja (Conway e Smith, 2003).

Aplicações

O espaço de classes laterais (espaço coset) Spin(3) / 2I = S3 / 2I é uma 3-variedade esférica chamada de Esfera de homologia de Poincaré.

Ela é um exemplo de uma esfera de homologia, isto é, uma 3-variedade cujos grupos de homologia são idênticos aos de uma 3-esfera. O grupo fundamental da esfera de Poincaré é isomorfo ao grupo icosaédrico binário, já que a esfera de Poincaré é o quociente de uma 3-esfera pelo grupo icosaédrico binário.

Ver também Grupo poliédrico binário Grupo cíclico binário, ⟨n⟩, ordem 2n Grupo diedral binário, ⟨2,2,n⟩, ordem 4n Grupo tetraédrico binário, 2T=⟨2,3,3⟩, ordem 24 Grupo octaédrico binário, 2O=⟨2,3,4⟩, ordem 48

Bibliografia

6.5 The binary polyhedral groups, p. 68

Icosaedrico