thumb|Diferentemente das três dimensões, nas quais as distâncias entre os vértices de um policubo com arestas unitárias excluem √7 devido ao teorema dos três quadrados de Legendre, o teorema dos quatro quadrados de Lagrange afirma que o análogo em quatro dimensões produz as raízes quadradas de todo número natural.
O teorema dos quatro quadrados de Lagrange, também conhecido como conjectura de Bachet, afirma que todo inteiro não negativo pode ser representado como a soma de quatro quadrados de inteiros não negativos. Ou seja, os quadrados formam uma base aditiva de ordem quatro:
onde os quatro números são inteiros. Para fins de ilustração, 3, 31 e 310 podem ser representados como a soma de quatro quadrados da seguinte forma:
Este teorema foi provado por Joseph-Louis Lagrange em 1770. É um caso especial do teorema dos números poligonais de Fermat.
Desenvolvimento histórico A partir de exemplos fornecidos em Arithmetica, fica claro que Diofanto tinha conhecimento do teorema. Este livro foi traduzido para o latim em 1621 por Bachet (Claude Gaspard Bachet de Méziriac), que enunciou o teorema nas notas de sua tradução. Mas o teorema só foi provado em 1770 por Lagrange..
Adrien-Marie Legendre estendeu o teorema em 1797–98 com seu teorema dos três quadrados, ao provar que um inteiro positivo pode ser expresso como a soma de três quadrados se e somente se não for da forma para inteiros e . Mais tarde, em 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi descobriu uma fórmula simples para o número de representações de um inteiro como a soma de quatro quadrados com seu próprio teorema dos quatro quadrados.
A fórmula também está ligada ao Teorema de Descartes dos quatro "círculos osculadores", que envolve a soma dos quadrados das curvaturas de quatro círculos. Isso também se conecta aos empacotamentos apolonianos, que foram mais recentemente relacionados à Conjectura de Ramanujan–Petersson..
Demonstrações
A demonstração clássica Existem várias versões modernas muito semelhantes... da demonstração de Lagrange. A demonstração abaixo é uma versão um pouco simplificada, na qual os casos para os quais m é par ou ímpar não requerem argumentos separados.
Demonstração:
É suficiente provar o teorema para todo número primo ímpar p. Isso decorre imediatamente da identidade dos quatro quadrados de Euler (e do fato de que o teorema é verdadeiro para os números 1 e 2).
Os resíduos de a2 módulo p são distintos para cada a entre 0 e (inclusive). Para ver isso, tome um a e defina c como a2 mod p. a é uma raiz do polinômio sobre o corpo . Assim como (que é diferente de a). Em um corpo K, qualquer polinômio de grau n tem no máximo n raízes distintas (Teorema de Lagrange (teoria dos números)), portanto, não há outro a com essa propriedade, em particular, não entre 0 e .
De modo semelhante, para b assumindo valores inteiros entre 0 e (inclusive), os valores de são distintos. Pelo princípio da casa dos pombos, existem a e b nesse intervalo para os quais a2 e são congruentes módulo p, ou seja, para os quais
Agora, seja m o menor inteiro positivo tal que mp seja a soma de quatro quadrados, (acabamos de mostrar que existe algum m (a saber, n) com essa propriedade, portanto existe pelo menos um m, e ele é menor que p). Mostraremos por contradição que m é igual a 1: supondo que não seja o caso, provamos a existência de um inteiro positivo r menor que m, para o qual rp também é a soma de quatro quadrados (isso segue o espírito do método de descida infinita de Fermat).Aqui o argumento é uma demonstração por contradição direta. Com a suposição inicial de que m > 2, m < p, é algum inteiro tal que mp é a soma de quatro quadrados (não necessariamente o menor), o argumento poderia ser modificado para se tornar um argumento de descida infinita no espírito de Fermat.
Para este propósito, consideramos para cada xi o yi que está na mesma classe residual módulo m e entre e m/2 (possivelmente incluso). Segue-se que , para algum inteiro estritamente positivo r menor que m.
Finalmente, outro apelo à identidade dos quatro quadrados de Euler mostra que . Mas o fato de que cada xi é congruente ao seu correspondente yi implica que todos os zi são divisíveis por m. De fato,
Segue-se que, para , , e isso entra em contradição com a minimalidade de m.
Na descida acima, devemos descartar tanto o caso (o que daria e nenhuma descida), quanto o caso (o que daria em vez de estritamente positivo). Para ambos os casos, pode-se verificar que seria um múltiplo de m2, contradizendo o fato de que p é um primo maior que m. ∎
Demonstração usando os inteiros de Hurwitz Outra maneira de provar o teorema baseia-se nos quatérnios de Hurwitz, que são o análogo dos inteiros para os quatérnios..
Demonstração:
Os quatérnios de Hurwitz consistem em todos os quatérnios com componentes inteiros e todos os quatérnios com componentes semi-inteiros. Esses dois conjuntos podem ser combinados em uma única fórmula
onde são inteiros. Assim, as componentes do quatérnio são todas inteiras ou todas semi-inteiras, dependendo se é par ou ímpar, respectivamente. O conjunto dos quatérnios de Hurwitz forma um anel; ou seja, a soma ou o produto de quaisquer dois quatérnios de Hurwitz é igualmente um quatérnio de Hurwitz.
A norma (aritmética ou de corpo) de um quatérnio racional é o número racional não negativo
onde é o conjugado de . Note que a norma de um quatérnio de Hurwitz é sempre um número inteiro. (Se os coeficientes forem semi-inteiros, então seus quadrados são da forma , e a soma de quatro desses números é um inteiro).
Como a multiplicação de quatérnios é associativa, e os números reais comutam com outros quatérnios, a norma de um produto de quatérnios é igual ao produto das normas:
Para qualquer , . Segue-se facilmente que é uma unidade no anel dos quatérnios de Hurwitz se e somente se .
A demonstração do teorema principal começa pela redução ao caso dos números primos. A identidade dos quatro quadrados de Euler implica que, se o teorema dos quatro quadrados de Lagrange for válido para dois números, ele será válido para o produto dos dois números. Como qualquer número natural pode ser fatorado em potências de primos, basta provar o teorema para números primos. Ele é verdadeiro para . Para mostrar isso para um número primo ímpar , nós o representamos como um quatérnio e assumimos por enquanto (como mostraremos mais adiante) que ele não é um irredutível de Hurwitz; ou seja, ele pode ser fatorado em dois quatérnios de Hurwitz não unitários
As normas de são inteiros tais que
e . Isso mostra que tanto quanto são iguais a (pois são inteiros), e é a soma de quatro quadrados
Se acontecer de o escolhido ter coeficientes semi-inteiros, ele pode ser substituído por outro quatérnio de Hurwitz. Escolha de modo que tenha coeficientes inteiros pares. Então
Como possui coeficientes inteiros pares, terá coeficientes inteiros e pode ser usado no lugar do original para fornecer uma representação de como a soma de quatro quadrados.
Para mostrar que não é um irredutível de Hurwitz, Lagrange provou que todo primo ímpar divide pelo menos um número da forma , onde e são inteiros. Isso pode ser visto da seguinte forma: como é primo, pode ser válido para inteiros , apenas quando . Assim, o conjunto de quadrados contém resíduos distintos módulo . Da mesma forma, contém resíduos. Uma vez que há apenas resíduos no total, e , os conjuntos e devem se cruzar.
O número pode ser fatorado em quatérnios de Hurwitz:
A norma nos quatérnios de Hurwitz satisfaz uma forma de propriedade euclidiana: para qualquer quatérnio com coeficientes racionais, podemos escolher um quatérnio de Hurwitz de modo que escolhendo primeiro para que e então para que para . Logo, obtemos
Segue-se que, para quaisquer quatérnios de Hurwitz com , existe um quatérnio de Hurwitz tal que
O anel dos quatérnios de Hurwitz não é comutativo, portanto não é um domínio euclidiano propriamente dito, e não possui fatoração única no sentido usual. No entanto, a propriedade acima implica que todo ideal à direita é principal. Assim, existe um quatérnio de Hurwitz tal que
Em particular, para algum quatérnio de Hurwitz . Se fosse uma unidade, seria um múltiplo de , contudo isso é impossível pois não é um quatérnio de Hurwitz para . Da mesma forma, se fosse uma unidade, teríamos
então dividiria , o que novamente contradiz o fato de que não é um quatérnio de Hurwitz. Portanto, não é um irredutível de Hurwitz, como afirmado. ∎
Generalizações O teorema dos quatro quadrados de Lagrange é um caso especial do Teorema dos números poligonais de Fermat e do Problema de Waring. Outra generalização possível é o seguinte problema: Dados os números naturais , podemos resolver
para todos os inteiros positivos em inteiros ? O caso é respondido de forma positiva pelo teorema dos quatro quadrados de Lagrange. A solução geral foi dada por Ramanujan.. Ele provou que se assumirmos, sem perda de generalidade, que , então existem exatamente 54 escolhas possíveis para tais que o problema seja solucionável em inteiros para todo . (Ramanujan listou uma 55ª possibilidade , mas neste caso o problema não é solucionável se ..)
Algoritmos
Em 1986, Michael O. Rabin e Jeffrey Shallit. propuseram algoritmos randomizados de tempo polinomial para computar uma única representação para um dado inteiro , com tempo de execução esperado . Isso foi posteriormente melhorado para por Paul Pollack e Enrique Treviño em 2018..
Número de representações
O número de representações de um número natural n como a soma de quatro quadrados de inteiros é denotado por r4(n). O teorema dos quatro quadrados de Jacobi afirma que este valor é oito vezes a soma dos divisores de n se n for ímpar, e 24 vezes a soma dos divisores ímpares de n se n for par (ver Função divisor), ou seja,
Equivalentemente, é oito vezes a soma de todos os seus divisores que não são divisíveis por 4, isto é,
Também podemos escrever isso como
onde o segundo termo deve ser considerado zero se n não for divisível por 4. Em particular, para um número primo p, temos a fórmula explícita ..
Alguns valores de r4(n) ocorrem com frequência infinita, visto que sempre que n é par. Os valores de r4(n)/n podem ser arbitrariamente grandes: de fato, r4(n)/n é infinitas vezes maior que 8.
Unicidade A sequência de inteiros positivos que possuem apenas uma representação como uma soma de quatro quadrados de inteiros não negativos (a menos da ordem) é:
1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 23, 24, 32, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ... .
Esses inteiros consistem nos sete números ímpares 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23 e em todos os números da forma ou .
A sequência de inteiros positivos que não podem ser representados como uma soma de quatro quadrados não nulos é:
1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 17, 24, 29, 32, 41, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ... .
Esses inteiros consistem nos oito números ímpares 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41 e em todos os números da forma ou .
Refinamentos adicionais O teorema dos quatro quadrados de Lagrange pode ser refinado de várias maneiras. Por exemplo, Zhi-Wei Sun. provou que todo número natural pode ser escrito como uma soma de quatro quadrados com alguns requisitos sobre a escolha desses quatro números.
Também é possível questionar se é necessário usar todo o conjunto de inteiros quadrados para escrever cada natural como a soma de quatro quadrados. Eduard Wirsing provou que existe um conjunto de quadrados com tal que todo inteiro positivo menor ou igual a pode ser escrito como uma soma de no máximo 4 elementos de .
Ver também Teorema de Fermat sobre a soma de dois quadrados Teorema dos números poligonais de Fermat Problema de Waring Teorema dos três quadrados de Legendre Teorema da soma de dois quadrados Função soma de quadrados Teoremas 15 e 290
Referências
Bibliografia
Ligações externas Demonstração no PlanetMath.org Outra demonstração Um applet que decompõe números como somas de quatro quadrados