Em matemática, um ideal próprio de um anel comutativo é dito ser irredutível se não puder ser escrito como a interseção de dois ideais estritamente maiores..
Exemplos Todo ideal primo é irredutível.. Sejam e ideais de um anel comutativo , com nenhum deles contido no outro. Então existem e , onde nenhum está em mas o produto está. Isso prova que um ideal redutível não é primo. Um exemplo concreto disso são os ideais e contidos em . A interseção é , e não é um ideal primo. Todo ideal irredutível de um anel noetheriano é um ideal primário, e consequentemente para anéis noetherianos uma decomposição irredutível é uma decomposição primária. Todo ideal primário de um domínio de ideais principais é um ideal irredutível. Todo ideal irredutível é primal.. Theorem 1, p. 3. Todo ideal irredutível que também é radical é primo. O ideal é um exemplo de um ideal irredutível em \mathbb{Z} que não é radical e não é um ideal primo.
Propriedades
Um elemento de um domínio de integridade é primo se e somente se o ideal gerado por ele for um ideal primo não nulo. Isso não é verdade para ideais irredutíveis; um ideal irredutível pode ser gerado por um elemento que não é um elemento irredutível, como é o caso em para o ideal , uma vez que não é a interseção de dois ideais estritamente maiores.
Na geometria algébrica, se um ideal de um anel é irredutível, então é um subconjunto irredutível na topologia de Zariski sobre o espectro . A recíproca não é verdadeira; por exemplo, o ideal em define a variedade algébrica irredutível consistindo apenas na origem, mas não é um ideal irredutível, já que .
Ver também Módulo irredutível Espaço topológico irredutível Anel laskeriano
Referências
Categoria:Teoria dos anéis Categoria:Topologia algébrica