O conceito de um espaço projetivo desempenha um papel central na geometria algébrica. Este artigo tem como objetivo definir a noção em termos de geometria algébrica abstrata e descrever alguns usos básicos dos espaços projetivos.
Ideais polinomiais homogêneos
Seja k um corpo algebricamente fechado e um espaço vetorial de dimensão finita sobre k. A álgebra simétrica do espaço vetorial dual é chamada de anel de polinômios sobre e denotada por k[]. É uma álgebra graduada naturalmente pelo grau dos polinômios.
O Nullstellensatz projetivo afirma que, para qualquer ideal homogêneo que não contém todos os polinômios de um certo grau (referido como um ideal irrelevante), o lugar geométrico dos zeros comuns de todos os polinômios em (ou Nullstelle) é não trivial (isto é, o lugar geométrico dos zeros comuns contém mais do que o elemento único ) e, mais precisamente, o ideal de polinômios que se anulam nesse lugar geométrico coincide com o radical de um ideal .
Esta última afirmação é melhor resumida pela fórmula: para qualquer ideal relevante ,
Em particular, os ideais relevantes homogêneos maximais de k[] estão em correspondência biunívoca com as retas que passam pela origem de .
Construção de esquemas projetivizados
Seja um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo k. O esquema sobre k definido por Proj(k[]) é chamado de projetivização de . O espaço projetivo -dimensional sobre k é a projetivização do espaço vetorial .
A definição do feixe é feita na base de conjuntos abertos principais , onde varia sobre o conjunto de polinômios homogêneos, definindo as seções
como sendo o anel , a componente de grau zero do anel obtido pela localização de um anel em . Seus elementos são, portanto, as funções racionais com numerador homogêneo e alguma potência de como denominador, com o mesmo grau que o numerador.
A situação é mais clara numa forma linear que não se anula. A restrição do feixe estrutural ao conjunto aberto é então canonicamente identificadaEm coordenadas, esta correspondência é dada por com o esquema afim spec(k[ker ]). Visto que os formam uma cobertura aberta de , os esquemas projetivos podem ser pensados como sendo obtidos pela colagem via projetivização de esquemas afins isomorfos.
Pode-se notar que o anel de seções globais deste esquema é um corpo, o que implica que o esquema não é afim. Quaisquer dois conjuntos abertos interceptam-se de forma não trivial: ou seja, o esquema é irredutível. Quando o corpo k é algebricamente fechado, é de fato uma variedade abstrata, que, além disso, é completa. cf. Glossário da teoria de esquemas
Divisores e feixes de torção A construção Proj, na verdade, fornece mais do que um mero esquema: um feixe de módulos graduados sobre o feixe estrutural é definido no processo. As componentes homogêneas desse feixe graduado são denotadas por , os feixes de torção de Serre. Todos esses feixes são, de fato, fibrados de linhas. Pela correspondência entre divisores de Cartier e fibrados de linhas, o primeiro feixe de torção é equivalente a divisores de hiperplanos.
Como o anel de polinômios é um domínio de fatoração única, qualquer ideal primo de altura 1 é um ideal principal, o que mostra que qualquer divisor de Weil é linearmente equivalente a alguma potência de um divisor de hiperplano. Esta consideração prova que o grupo de Picard de um espaço projetivo é livre de posto 1. Ou seja, , e o isomorfismo é dado pelo grau dos divisores.
Classificação de fibrados vetoriais
Os feixes invertíveis, ou fibrados de linhas, no espaço projetivo para um corpo, são exatamente os feixes de torção de modo que o grupo de Picard de é isomorfo a . O isomorfismo é dado pela primeira classe de Chern.
O espaço de seções locais num conjunto aberto do fibrado de linhas é o espaço das funções regulares homogêneas de grau no cone em associado a . Em particular, o espaço de seções globais
anula-se se , e consiste em constantes em k para e em polinômios homogêneos de grau para . (Portanto, tem dimensão ).
O teorema de Birkhoff-Grothendieck afirma que, na reta projetiva, qualquer fibrado vetorial cinde (separa-se) de maneira única como uma soma direta de fibrados de linhas.
Fibrados de linhas importantes O fibrado tautológico, que aparece por exemplo como o divisor excepcional da explosão de um ponto suave, é o feixe . O fibrado canônico é . Este fato deriva de uma afirmação geométrica fundamental sobre espaços projetivos: a sequência de Euler.
A negatividade do fibrado de linhas canônico torna os espaços projetivos os principais exemplos de variedades de Fano; equivalentemente, o seu fibrado de linhas anticanônico é amplo (na verdade, muito amplo). O seu índice (cf. variedades de Fano) é dado por , e, por um teorema de Kobayashi-Ochiai, os espaços projetivos são caracterizados entre as variedades de Fano pela propriedade
Morfismos para esquemas projetivos
Como os espaços afins podem ser mergulhados em espaços projetivos, todas as variedades afins também podem ser mergulhadas em espaços projetivos.
Qualquer escolha de um sistema finito de seções globais não simultaneamente nulas de um fibrado de linhas globalmente gerado define um morfismo para um espaço projetivo. Um fibrado de linhas cuja base pode ser mergulhada em um espaço projetivo por tal morfismo é chamado de muito amplo.
O grupo de simetrias do espaço projetivo é o grupo de automorfismos lineares projetivizados . A escolha de um morfismo para um espaço projetivo módulo a ação deste grupo é de fato equivalente à escolha de um sistema linear de divisores de dimensão globalmente gerador sobre um fibrado de linhas em . A escolha de um mergulho projetivo de , módulo transformações projetivas, é igualmente equivalente à escolha de um fibrado de linhas muito amplo em .
Um morfismo para um espaço projetivo define um fibrado de linhas globalmente gerado por e um sistema linear
Se a imagem do morfismo não estiver contida em um divisor de hiperplano, então o pull-back é uma injeção e o sistema linear de divisores é um sistema linear de dimensão .
Um exemplo: os mergulhos de Veronese
Os mergulhos de Veronese são mergulhos para
Veja a resposta no MathOverflow para uma aplicação do mergulho de Veronese ao cálculo de grupos de coomologia de hipersuperfícies projetivas suaves (divisores suaves).
Curvas em espaços projetivos
Como variedades de Fano, os espaços projetivos são variedades regradas. A teoria da interseção de curvas no plano projetivo produz o teorema de Bézout.
Ver também
Geometria algébrica geral Esquema (matemática) Variedade projetiva Construção Proj
Geometria projetiva geral Espaço projetivo Geometria projetiva Polinômio homogêneo
Notas
Bibliografia
Categoria:Geometria algébrica Categoria:Geometria projetiva Categoria:Variedades algébricas Categoria:Espaços (matemática)