thumb|Representação da Esfera de Bloch
Na mecânica quântica e na computação quântica, a esfera de Bloch é uma representação geométrica do espaço de estado puro de um sistema quântico de dois níveis (qubit), batizada em homenagem ao físico Felix Bloch.
Matematicamente, cada sistema mecânico quântico está associado a um espaço de Hilbert complexo separável . Um estado puro de um sistema quântico é representado por um vetor não nulo em . Os vetores e (com sendo um número complexo não nulo) representam o mesmo estado. Um sistema com n estados quânticos mutuamente ortogonais pode ser descrito por um espaço de Hilbert de dimensão n. Estados puros podem ser representados como classes de equivalência ou raios em um espaço de Hilbert projetivo . Para um espaço de Hilbert bidimensional, o espaço de todos esses estados é a linha projetiva complexa Esta é a esfera de Bloch, que pode ser mapeada para a esfera de Riemann.
A esfera de Bloch é uma 2-esfera unitária, com pontos antípodas correspondendo a um par de vetores de estado mutuamente ortogonais. Os polos norte e sul da esfera de Bloch são tipicamente escolhidos para corresponder aos vetores da base padrão e , respectivamente, que por sua vez podem corresponder, por exemplo, aos estados de spin para cima (up) e para baixo (down) de um elétron. Essa escolha, no entanto, é arbitrária. Os pontos na superfície da esfera correspondem aos estados puros do sistema, enquanto os pontos internos correspondem aos estados mistos. A esfera de Bloch pode ser quadrada ou generalizada para um sistema quântico de n níveis, mas a visualização torna-se menos útil.
A métrica natural na esfera de Bloch é a métrica de Fubini–Study. O mapeamento da 3-esfera unitária no espaço de estados bidimensional para a esfera de Bloch é a fibração de Hopf, com cada raio de espinores mapeando para um ponto na esfera de Bloch.
Definição
Dada uma base ortonormal, qualquer estado puro de um sistema quântico de dois níveis pode ser escrito como uma superposição dos vetores de base e , onde o coeficiente de (ou a contribuição de) cada um dos dois vetores de base é um número complexo. Isso significa que o estado é descrito por quatro números reais. No entanto, apenas a fase relativa entre os coeficientes dos dois vetores de base possui qualquer significado físico (a fase do sistema quântico não é diretamente mensurável), de modo que há redundância nessa descrição. Podemos assumir que o coeficiente de seja real e não negativo. Isso permite que o estado seja descrito por apenas três números reais, dando origem às três dimensões da esfera de Bloch.
Também sabemos pela mecânica quântica que a probabilidade total do sistema deve ser um: , ou equivalentemente .
Dada essa restrição, podemos escrever usando a seguinte representation: , onde and .
A representação é sempre única porque, embora o valor de não seja único quando é um dos estados ou (ver notação bra-ket), o ponto representado por e é único.
Os parâmetros e , reinterpretados em coordenadas esféricas como sendo, respectivamente, a colatitude em relação ao eixo z e a longitude em relação ao eixo x, especificam um ponto:
na esfera unitária em .
Para estados mistos, considera-se o operador de densidade. Qualquer operador de densidade bidimensional pode ser expandido usando a identidade e as matrizes de Pauli hermitianas e de traço nulo, , onde é chamado de vetor de Bloch.
É esse vetor que indica o ponto dentro da esfera que corresponde a um determinado estado misto. Especificamente, como uma característica básica do vetor de Pauli, os autovalores de são . Como os operadores de densidade devem ser semidefinidos positivos, segue-se que .
Para estados puros, tem-se então:
em conformidade com o exposto acima.A matriz de densidade idempotente
atua no autovetor de estado com autovalor 1, funcionando como um operador de projeção para ele.
Como consequência, a superfície da esfera de Bloch representa todos os estados puros de um sistema quântico bidimensional, enquanto o interior corresponde a todos os estados mistos.
Representação u, v, w O vetor de Bloch pode ser representado na seguinte base, com referência ao operador de densidade :
onde
Esta base é frequentemente usada na teoria do laser, onde é conhecido como a inversão de população. Nesta base, os valores são os valores esperados das três matrizes de Pauli , permitindo identificar as três coordenadas com os eixos x, y e z.
Estados puros Considere um sistema mecânico quântico de n níveis. Este sistema é descrito por um espaço de Hilbert n-dimensional Hn. O espaço de estados puros é, por definição, o conjunto de raios de Hn.
Teorema. Seja U(n) o grupo de Lie de matrizes unitárias de tamanho n. Então, o espaço de estados puros de Hn pode ser identificado com o espaço de classes laterais compacto:
Para provar esse fato, note que existe uma ação de grupo natural de U(n) sobre o conjunto de estados de Hn. Esta ação é contínua e transitiva nos estados puros. Para qualquer estado , o grupo de isotropia de (definido como o conjunto de elementos de U(n) tais que ) é isomórfico ao grupo produto:
Em termos de álgebra linear, isso pode ser justificado da seguinte forma. Qualquer de U(n) que deixe invariante deve ter como um autovetor. Como o autovalor correspondente deve ser um número complexo de módulo 1, isso fornece o fator U(1) do grupo de isotropia. A outra parte do grupo de isotropia é parametrizada pelas matrizes unitárias no complemento ortogonal de , que é isomórfico a U(n − 1). A partir disso, a afirmação do teorema decorre de fatos básicos sobre ações transitivas de grupos compactos.
O fato importante a se notar acima é que o grupo unitário atua transitivamente nos estados puros.
Ora, a dimensão (real) de U(n) é n2. Isso é fácil de ver, já que o mapeamento exponencial
é um homeomorfismo local do espaço de matrizes complexas autoadjuntas para U(n). O espaço de matrizes complexas autoadjuntas tem dimensão real n2.
Corolário. A dimensão real do espaço de estados puros de Hn é 2n − 2.
De fato,
Vamos aplicar isso para considerar a dimensão real de um registrador quântico de m qubits. O espaço de Hilbert correspondente tem dimensão 2m.
Corolário. A dimensão real do espaço de estados puros de um registrador quântico de m-qubits é 2m+1 − 2.
Plotando estados puros de dois espinores através de projeção estereográfica thumb|upright=1.3|Esfera de Bloch centrada na origem de . Um par de pontos nela, e , foi escolhido como base. Matematicamente eles são ortogonais, embora graficamente o ângulo entre eles seja π. Em , esses pontos têm coordenadas (0,0,1) e (0,0,−1). Um espinor arbitrário na esfera de Bloch é representável como uma combinação linear única dos dois espinores de base, sendo os coeficientes um par de números complexos; chame-os de α e β. Seja a sua razão dada por , que também é um número complexo . Considere o plano z = 0, o plano equatorial da esfera, por assim dizer, como sendo um plano complexo e que o ponto u está plotado nele como . Projete o ponto u estereograficamente na esfera de Bloch a partir do Polo Sul — por assim dizer — (0,0,−1). A projeção resulta em um ponto marcado na esfera como . Matematicamente, a esfera de Bloch para um estado de dois espinores pode ser mapeada para uma esfera de Riemann , isto é, o espaço de Hilbert projetivo , sendo o espaço de Hilbert complexo bidimensional um espaço de representação de SO(3). Dado um estado puro:
onde e são números complexos normalizados de modo que:
e tais que e , isto é, de modo que e formem uma base e tenham representações diametralmente opostas na esfera de Bloch, então seja:
a sua razão.
Se pensarmos na esfera de Bloch como estando imersa em com seu centro na origem e com raio um, then o plano z = 0 (que intercepta a esfera de Bloch em um círculo máximo; o equador da esfera, por assim dizer) pode ser pensado como um diagrama de Argand. Plote o ponto u neste plano — de modo que em ele tenha coordenadas .
Desenhe uma linha reta passando por u e pelo ponto na esfera que representa . (Deixe (0,0,1) representar e (0,0,−1) representar .) Esta linha intercepta a esfera em outro ponto além de . (A única exceção é quando , isto é, quando e .) Chame este ponto de P. O ponto u no plano z = 0 é a projeção estereográfica do ponto P na esfera de Bloch. O vetor com cauda na origem e extremidade em P é a direção no espaço tridimensional correspondente ao espinor . As coordenadas de P são:
Operadores de densidade As formulações da mecânica quântica em termos de estados puros são adequadas para sistemas isolados; em geral, os sistemas mecânicos quânticos precisam ser descritos em termos de operadores de densidade. A esfera de Bloch parametriza não apenas estados puros, mas também estados mistos para sistemas de 2 níveis. O operador de densidade que descreve o estado misto de um sistema quântico de 2 níveis (qubit) corresponde a um ponto dentro da esfera de Bloch com as seguintes coordenadas:
onde é a probabilidade dos estados individuais dentro do ensemble e são as coordenadas dos estados individuais (na superfície da esfera de Bloch). O conjunto de todos os pontos sobre e dentro da esfera de Bloch é conhecido como a bola de Bloch.
Para estados de dimensões mais elevadas, há dificuldade em estender isso para estados mistos. A descrição tópologica é complicada pelo fato de que o grupo unitário não atua transitivamente sobre os operadores de densidade. Além disso, as órbitas são extremamente diversas, como decorre da seguinte observação:
Teorema. Suponha que A seja um operador de densidade em um sistema mecânico quântico de n níveis cujos autovalores distintos sejam μ1, ..., μk com multiplicidades n1, ..., nk. Então, o grupo de operadores unitários V tais que V A V* = A é isomórfico (como um grupo de Lie) a:
In particular, a órbita de A é isomórfica a:
É possível generalize a construção da bola de Bloch para dimensões maiores que 2, mas a geometry de tal "corpo de Bloch" é mais complicada do que a de uma bola.
Rotações Uma vantagem útil da representação da esfera de Bloch é que a evolução do estado do qubit pode ser descrita por rotações da esfera de Bloch. A explicação mais concisa de por que esse é o caso é que a Álgebra de Lie para o grupo de matrizes unitárias e hermitianas é isomórfica à álgebra de Lie do grupo de rotações tridimensionais .D.B. Westra 2008, "SU(2) and SO(3)", https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf
Operadores de rotação em relação à base de Bloch As rotações da esfera de Bloch em relação aos eixos cartesianos na base de Bloch são dadas por:Nielsen and Chuang 2010, "Quantum Computation and Information," pg 174
Rotações em relação a um eixo geral Se for um vetor unitário real em três dimensões, a rotação da esfera de Bloch em relação a esse eixo é dada por:
Algo interessante a se notar é que esta expressão é idêntica, sob renomeação de variáveis, à fórmula de Euler estendida para quatérnios imaginários puros.
Derivação do gerador de rotação de Bloch BallentineBallentine 2014, "Quantum Mechanics - A Modern Development", Chapter 3 apresenta uma derivação intuitiva para a transformação unitária infinitesimal. Isso é importante para entender por que as rotações das esferas de Bloch são exponenciais de combinações lineares de matrizes de Pauli. Portanto, um breve tratamento sobre isso é apresentado aqui. Uma descrição mais completa em um contexto mecânico quântico pode ser encontrada aqui.
Considere uma família de operadores unitários que representam uma rotação em torno de algum eixo. Como a rotação tem um grau de liberdade, o operador atua em um corpo de escalares de tal modo que:
onde
Definimos a unitária infinitesimal como a expansão de Taylor truncada na segunda ordem.
Pela condição de unitariedade:
Portanto,
Para que essa igualdade seja verdadeira (assumindo que seja desprezível), exigimos . Isso resulta em uma solução da forma:
onde é qualquer transformação hermitiana, chamada de gerador da família unitária. Portanto,