Em matemática, a noção de um germe de um objeto num/sobre um espaço topológico é uma classe de equivalência desse objeto e de outros do mesmo tipo que captura suas propriedades locais compartilhadas. Em particular, os objetos em questão são principalmente funções (ou aplicações) e subconjuntos. Em implementações específicas desta ideia, as funções ou subconjuntos em questão terão alguma propriedade, como serem analíticas ou suaves, mas em geral isso não é necessário (as funções em questão não precisam nem mesmo ser contínuas); é, no entanto, necessário que o espaço sobre o qual/no qual o objeto é definido seja um espaço topológico, para que a palavra local tenha algum significado.
Nome O nome é derivado de germe de cereal numa continuação da metáfora de feixe (sheaf), pois um germe é (localmente) o "coração" de uma função, assim como é para um grão.
Definição formal
Definição básica
Dado um ponto x de um espaço topológico X, e duas aplicações (onde Y é um conjunto qualquer), então e definem o mesmo germe em x se existe uma vizinhança U de x tal que, restritas a U, f e g são iguais; o que significa que para todo u em U.
Da mesma forma, se S e T são dois subconjuntos quaisquer de X, então eles definem o mesmo germe em x se houver novamente uma vizinhança U de x tal que
Isso pode ser entendido como uma aplicação da definição básica acima, identificando S e T com suas respectivas funções indicadoras, e .
É direto ver que definir o mesmo germe em x é uma relação de equivalência (seja em aplicações ou conjuntos), e as classes de equivalência são chamadas de germes (germes de aplicação, ou germes de conjunto, de acordo). A relação de equivalência é usualmente escrita como
Dada uma aplicação f em X, seu germe em x é usualmente denotado por [f]x. Da mesma forma, o germe em x de um conjunto S é escrito como [S]x. Portanto,
Um germe de aplicação em x de X que mapeia o ponto x de X para o ponto y de Y é denotado como
Ao usar esta notação, f é então pretendido como uma classe de equivalência inteira de aplicações, usando a mesma letra f para qualquer aplicação representante.
Note que dois conjuntos são equivalentes em germe em x se, e somente se, suas funções características são equivalentes em germe em x:
Mais geralmente As aplicações não precisam estar definidas em todo o X, e em particular não precisam ter o mesmo domínio. No entanto, se f tem domínio S e g tem domínio T, ambos subconjuntos de X, então f e g são equivalentes em germe em x de X se, primeiramente, S e T são equivalentes em germe em x, digamos e então além disso , para alguma vizinhança menor V com . Isto é particularmente relevante em dois cenários: f está definida numa subvariedade V de X, e f possui um polo de algum tipo em x, portanto nem sequer está definida em x, como por exemplo uma função racional, que estaria definida fora de uma subvariedade.
Propriedades básicas Se f e g são equivalentes em germe em x, então eles compartilham todas as propriedades locais, tais como continuidade, diferenciabilidade, etc., então faz sentido falar sobre um germe diferenciável ou analítico, etc. O mesmo vale para subconjuntos: se um representante de um germe é um conjunto analítico, então também são todos os representantes, pelo menos em alguma vizinhança de x.
Estruturas algébricas no contradomínio Y são herdadas pelo conjunto de germes com valores em Y. Por exemplo, se o contradomínio Y é um grupo, então faz sentido multiplicar germes: para definir [f]x[g]x, primeiro tome representantes f e g, definidos em vizinhanças U e V respectivamente, e defina [f]x[g]x como o germe em x do produto pontual da aplicação fg (que está definida em ). Da mesma maneira, se Y for um grupo abeliano, um espaço vetorial ou um anel, o mesmo se aplica ao conjunto de germes.
O conjunto de germes em x de aplicações de X para Y não possui uma topologia útil, exceto a discreta. Portanto, faz pouco ou nenhum sentido falar de uma sequência convergente de germes. No entanto, se X e Y são variedades, então os espaços de jatos (séries de Taylor de ordem finita em x de germes de aplicação) possuem topologias, pois podem ser identificados com espaços vetoriais de dimensão finita.
Relação com feixes A ideia de germes está por trás da definição de feixes e pré-feixes. Um pré-feixe de grupos abelianos sobre um espaço topológico X atribui um grupo abeliano a cada conjunto aberto U em X. Exemplos típicos de grupos abelianos aqui são: funções de valor real em U, formas diferenciais em U, campos vetoriais em U, funções holomorfas em U (quando X é uma variedade complexa), funções constantes em U e operadores diferenciais em U.
Se então há uma aplicação de restrição que satisfaz certas condições de compatibilidade. Para um x fixo, diz-se que os elementos e são equivalentes em x se existe uma vizinhança de x com resWU(f) = resWV(g) (ambos elementos de ). As classes de equivalência formam o talo (stalk) em x do pré-feixe . Esta relação de equivalência é uma abstração da equivalência de germes descrita acima.
Interpretar germes através de feixes também fornece uma explicação geral para a presença de estruturas algébricas nos conjuntos de germes. O motivo é que a formação de talos preserva os limites finitos. Isso implica que se T é uma Teoria de Lawvere e um feixe F é uma T-álgebra, então qualquer talo Fx é também uma T-álgebra.
Exemplos Se e possuem estrutura adicional, é possível definir subconjuntos do conjunto de todas as aplicações de X para Y ou mais geralmente sub-pré-feixes de um dado pré-feixe e os correspondentes germes: alguns exemplos notáveis seguem.
Se são ambos espaços topológicos, o subconjunto
de funções contínuas define germes de funções contínuas.
Se ambos e admitem uma estrutura diferenciável, o subconjunto
de funções -vezes continuamente diferenciáveis, o subconjunto
de funções suaves e o subconjunto
de funções analíticas podem ser definidos ( aqui é o ordinal para o infinito; este é um abuso de notação, por analogia com e ), e então espaços de germes de funções (finitamente) diferenciáveis, suaves, e analíticas podem ser construídos.
Se possuem uma estrutura complexa (por exemplo, são subconjuntos de espaços vetoriais complexos), funções holomorfas entre eles podem ser definidas, e portanto espaços de germes de funções holomorfas podem ser construídos. Se possuem uma estrutura algébrica, então funções regulares (e racionais) entre eles podem ser definidas, e germes de funções regulares (e analogamente racionais) podem ser definidos. O germe de no infinito positivo (ou simplesmente o germe de ) é . Esses germes são usados na análise assintótica e nos corpos de Hardy.
Notação O talo de um feixe num espaço topológico num ponto de é comumente denotado por Como consequência, germes, constituindo os talos de feixes de vários tipos de funções, tomam emprestado este esquema de notação: é o espaço dos germes de funções contínuas em . para cada número natural é o espaço dos germes de funções -vezes diferenciáveis em . é o espaço dos germes de funções infinitamente diferenciáveis ("suaves") em . é o espaço dos germes de funções analíticas em . é o espaço dos germes de funções holomorfas (na geometria complexa), ou espaço dos germes de funções regulares (na geometria algébrica) em .
Para germes de conjuntos e variedades, a notação não é tão bem estabelecida; algumas notações encontradas na literatura incluem:
é o espaço dos germes de variedades analíticas em . Quando o ponto é fixado e conhecido (ex: quando é um espaço vetorial topológico e ), ele pode ser omitido em cada um dos símbolos acima: também, quando , um subscrito antes do símbolo pode ser adicionado. Como exemplo: são os espaços de germes mostrados acima quando é um espaço vetorial de dimensão e .
Aplicações A palavra-chave nas aplicações dos germes é localidade: todas as propriedades locais de uma função num ponto podem ser estudadas analisando o seu germe. Eles são uma generalização das séries de Taylor, e de fato a série de Taylor de um germe (de uma função diferenciável) é definida: você só precisa de informações locais para calcular as derivadas.
Os germes são úteis para determinar as propriedades de sistemas dinâmicos perto de pontos escolhidos do seu espaço de fase: eles são uma das principais ferramentas na teoria das singularidades e na teoria das catástrofes.
Quando os espaços topológicos considerados são superfícies de Riemann ou, de forma mais geral, variedades analíticas complexas, os germes das funções holomorfas sobre eles podem ser vistos como séries de potências, e assim o conjunto de germes pode ser considerado o prolongamento analítico de uma função analítica.
Os germes também podem ser usados na definição de vetores tangentes na geometria diferencial. Um vetor tangente pode ser visto como uma derivação-ponto na álgebra dos germes naquele ponto.Tu, L. W. (2007). An Introduction to Manifolds. Nova Iorque: Springer. p. 11.
Propriedades algébricas Como notado anteriormente, os conjuntos de germes podem possuir estruturas algébricas, como serem anéis. Em muitas situações, os anéis de germes não são anéis arbitrários, mas sim anéis com propriedades bastante específicas.
Suponha que X seja um espaço de algum tipo. Frequentemente ocorre que, em cada x ∈ X, o anel dos germes de funções em x é um anel local. Esse é o caso, por exemplo, das funções contínuas num espaço topológico; das funções k-vezes diferenciáveis, suaves ou analíticas numa variedade real (quando tais funções são definidas); das funções holomorfas numa variedade complexa; e das funções regulares numa variedade algébrica. A propriedade de que os anéis de germes são anéis locais é axiomatizada pela teoria dos espaços localmente anelados.
Os tipos de anéis locais que surgem, no entanto, dependem estritamente da teoria em consideração. O teorema da preparação de Weierstrass implica que os anéis dos germes das funções holomorfas são anéis noetherianos. Pode-se também demonstrar que eles são anéis regulares. Por outro lado, seja o anel dos germes na origem das funções suaves em R. Este anel é local, mas não noetheriano. Para entender o motivo, observe que o ideal maximal m deste anel consiste em todos os germes que se anulam na origem, e a potência mk consiste nos germes cujas primeiras k − 1 derivadas se anulam. Se este anel fosse noetheriano, então o teorema da intersecção de Krull implicaria que uma função suave cuja série de Taylor zerasse seria a função nula. Mas isso é falso, como pode ser visto ao se considerar
Este anel também não é um domínio de fatoração única. Isso ocorre porque todos os DFUs satisfazem a condição de cadeia ascendente para ideais principais, mas aqui existe uma cadeia ascendente infinita de ideais principais
As inclusões são estritas porque x está no ideal maximal m.
O anel dos germes na origem das funções contínuas sobre R tem até a propriedade de que seu ideal maximal m satisfaz m2 = m. Qualquer germe f ∈ m pode ser escrito como
onde sgn é a função sinal. Como |f| zera na origem, isso expressa f como o produto de duas funções em m, de onde se tira a conclusão. Isto está relacionado com a formulação da teoria de quase-anéis.
Ver também Variedade analítica Teoria das catástrofes Axioma de colagem Superfície de Riemann Feixe Talo
Bibliografia , capítulo I, parágrafo 6, subparágrafo 10 "Germs at a point". , capítulo 2, parágrafo 2.1, "Basic Definitions". , capítulo 2 "Local Rings of Holomorphic Functions", especialmente o parágrafo A "The Elementary Properties of the Local Rings" e o parágrafo E "Germs of Varieties". Ian R. Porteous (2001) Geometric Differentiation, página 71, Cambridge University Press . , parágrafo 31, "Germi di funzioni differenziabili in un punto di (Germs of differentiable functions at a point of )" (em italiano).
Ligações externas
Categoria:Topologia (matemática) Categoria:Teoria dos feixes