thumb|O grafo de Möbius–Kantor, o grafo de Cayley do grupo de Pauli com geradores , e

Em física, informação quântica e teoria dos grupos, o grupo de Pauli é um grupo formado por produtos tensoriais de matrizes de Pauli, incluindo a identidade. O grupo de Pauli de um único qubit é um grupo de matrizes de 16 elementos, consistindo das 4 matrizes de Pauli cada uma com 4 possíveis fatores de fase. O grupo de Pauli de qubits é um grupo de elementos que consiste em produtos tensoriais de matrizes de Pauli de um único qubit.

Na teoria da informação quântica, os grupos de Pauli são importantes porque são a base para o formalismo estabilizador, uma estrutura amplamente utilizada para construir e descrever códigos de correção de erros quânticos usando conjuntos de operadores de Pauli que comutam. Os códigos estabilizadores são formados a partir de subgrupos comutativos do grupo de Pauli.

Grupo de Pauli de um único qubit O grupo de Pauli consiste na matriz identidade e em todas as matrizes de Pauli , juntamente com os produtos destas matrizes pelos fatores e : . O grupo de Pauli é gerado pelas matrizes de Pauli e, como elas, recebeu o nome de Wolfgang Pauli.

Como um grupo abstrato, é o produto central de um grupo cíclico de ordem 4 e do grupo diedral de ordem 8.Pauli group on GroupNames

O grupo de Pauli é uma representação do grupo gama no espaço euclidiano tridimensional. Ele não é isomorfo ao grupo gama; é menos livre, pois seu elemento quiral é enquanto não existe tal relação para o grupo gama.

Álgebra de Pauli A álgebra de Pauli é a álgebra das matrizes complexas 2 x 2 M(2, C) com adição de matrizes e multiplicação de matrizes. Ela tem uma longa história começando com os biquaterniões introduzidos por W. R. Hamilton nas suas Lectures on Quaternions (1853). A representação com matrizes foi notada por L. E. Dickson em 1914.L. E. Dickson (1914) Linear Algebras, páginas 13,4 Publicações de Pauli levaram eventualmente ao epônimo agora em uso. Os elementos da base da álgebra geram o grupo de Pauli.

Grupo de Pauli de múltiplos qubits O grupo de Pauli em qubits, , é o grupo gerado pelos operadores descritos acima aplicados a cada um dos qubits no produto tensorial do espaço de Hilbert . Isto é,

A ordem de é uma vez que um fator escalar ou em qualquer posição do produto tensorial pode ser movido para qualquer outra posição.

Notações Um operador de Pauli de qubits que atua apenas em um único qubit é frequentemente denotado como uma única letra de Pauli com um subscrito inteiro. Por exemplo, num sistema com 3 qubits,

Operadores de Pauli de múltiplos qubits podem ser escritos como produtos de operadores de Pauli de um único qubit em qubits disjuntos. Alternativamente, quando está claro pelo contexto, o símbolo de produto tensorial pode ser omitido, ou seja, matrizes de Pauli sem subscrito escritas consecutivamente representam produto tensorial em vez de produto matricial. Por exemplo:

Propriedades Os operadores em também podem ser representados como matrizes . Um operador tem sempre dois autovalores distintos, ou dependendo se o fator escalar é ou . Um operador com autovalores é hermitiano, e um com autovalores é anti-hermitiano. Em qualquer caso, um conjunto de autovetores de pode ser construído tomando produtos tensoriais de autovetores de cada , sendo o autovalor vezes o produto dos autovalores de cada fator.

Dois operadores em ou comutam ou anticomutam, dependendo se o número de pares anticomutantes de operadores de Pauli de um único qubit na mesma posição é par ou ímpar. Por exemplo, e comutam entre si porque há exatamente dois pares anticomutantes (nos qubits 1 e 2), mas e anticomutam porque há três desses pares.

Representação por vetor binário

Existe um mapeamento simples mas útil entre o espaço vetorial binário e o conjunto de matrizes de Pauli :

Este mapeamento permite que um operador de Pauli de múltiplos qubits seja representado como vetores binários com um fator de fase, e que as operações sobre estes operadores sejam definidas como operações binárias em vez de operações matriciais.

Algumas propriedades úteis deste mapeamento tornam-se evidentes quando os operadores de Pauli sem fase são considerados como representantes de classes de equivalência no grupo quociente (onde é o grupo de Pauli de um único qubit). Para , denote a classe de equivalência representada por como

Note que é um grupo comutativo pois dois operadores de Pauli ou comutam ou anticomutam, mas .

O mapeamento induz agora um isomorfismo , ou seja, a adição de vetores em é equivalente à multiplicação de operadores de Pauli a menos de uma fase global:

Além disso, seja o produto simplético entre dois elementos , onde e (esta notação representa concatenação de cadeias binárias, por exemplo, ), :

Então o produto simplético fornece as relações de comutatividade dos elementos de :

O produto simplético e o mapeamento fornecem, portanto, uma maneira útil de expressar as relações de Pauli em termos de álgebra binária.

As definições acima podem ser estendidas diretamente para múltiplos qubits, definindo um mapeamento tal que

Similarmente ao caso de um único qubit, denotando o grupo quociente como , o mapeamento é um isomorfismo:

Além disso, para e , onde , define-se o produto simplético como

onde e . Então o produto simplético captura as relações de comutação de quaisquer operadores e :

A representação binária acima e a álgebra simplética são especialmente úteis para tornar mais explícita a relação entre a correção de erros linear clássica e os códigos estabilizadores quânticos. Na linguagem dos espaços vetoriais simpléticos, um subespaço simplético corresponde a uma soma direta de álgebras de Pauli (ou seja, qubits codificados), enquanto um subespaço isotrópico corresponde a um conjunto de estabilizadores.

Referências

Bibliografia

Categoria:Computação quântica