Em geometria diferencial, as equações -Yang–Mills (ou equações -YM) são uma generalização das equações de Yang–Mills. Suas soluções são chamadas de conexões -Yang–Mills (ou conexões -YM). Casos importantes simples de conexões -Yang–Mills incluem conexões de Yang–Mills exponenciais usando a função exponencial para e conexões -Yang–Mills usando como expoente de uma potência da norma da forma de curvatura semelhante à -norma. Também são frequentemente consideradas conexões de Yang–Mills–Born–Infeld (ou conexões YMBI) com sinal positivo ou negativo em uma função envolvendo a raiz quadrada. Isso torna a equação de Yang–Mills–Born–Infeld semelhante à equação da superfície mínima.

Funcional de ação -Yang–Mills

Seja uma função estritamente crescente (portanto com ) e . Seja:

Como é uma função , pode-se também considerar a seguinte constante:

Seja um grupo de Lie compacto com álgebra de Lie e um -fibrado principal com uma variedade Riemanniana orientável tendo uma métrica e uma forma de volume . Seja seu fibrado adjunto. é o espaço de conexões, que são ou sob a representação adjunta formas diferenciais com valores em álgebra de Lie invariantes ou formas diferenciais com valores em fibrado vetorial. Como o operador estrela de Hodge é definido na variedade base pois requer a métrica e a forma de volume , o segundo espaço é geralmente usado.

O funcional de ação -Yang–Mills é dado por:

Para uma conexão plana (com ), tem-se . Portanto, é necessário para evitar divergência para uma variedade não compacta , embora esta condição também possa ser omitida, pois apenas a derivada é de importância posterior.

Conexões e equações -Yang–Mills

Uma conexão é chamada de conexão -Yang–Mills se for um ponto crítico do funcional de ação -Yang–Mills, ou seja, se:

para toda família suave com . Isso ocorre se, e somente se, as equações -Yang–Mills forem satisfeitas:

Para uma conexão -Yang–Mills , sua curvatura é chamada de campo -Yang–Mills.

Uma conexão/campo -Yang–Mills com:

é apenas uma conexão/campo de Yang–Mills ordinário. (ou para normalização) é chamado de conexão/campo de Yang–Mills exponencial (normalizado). Neste caso, tem-se . Os funcionais de ação de Yang–Mills exponencial e exponencial normalizado são denotados por e , respectivamente. é chamado de conexão/campo -Yang–Mills. Neste caso, tem-se . Conexões/campos de Yang–Mills usuais são exatamente as conexões/campos -Yang–Mills. O funcional de ação -Yang–Mills é denotado por . ou é chamado de conexão/campo de Yang–Mills–Born–Infeld (ou conexão/campo YMBI) com sinal negativo ou positivo, respectivamente. Nestes casos, tem-se e , respectivamente. Os funcionais de ação de Yang–Mills–Born–Infeld com sinal negativo e positivo são denotados por e , respectivamente. As equações de Yang–Mills–Born–Infeld com sinal positivo estão relacionadas à equação da superfície mínima:

Conexão -Yang–Mills estável

Analogamente às conexões de Yang–Mills (fracamente) estáveis, pode-se definir conexões -Yang–Mills (fracamente) estáveis. Uma conexão -Yang–Mills é chamada de estável se:

para toda família suave com . É chamada de fracamente estável se apenas for válido. Uma conexão -Yang–Mills que não é fracamente estável é chamada de instável. Para uma conexão -Yang–Mills (fracamente) estável ou instável , sua curvatura é adicionalmente chamada de campo -Yang–Mills (fracamente) estável ou instável.

Propriedades

Para uma conexão de Yang–Mills com curvatura constante, sua estabilidade como conexão de Yang–Mills implica sua estabilidade como conexão de Yang–Mills exponencial. Toda conexão de Yang–Mills exponencial não plana sobre com e:

é instável.

Toda conexão de Yang–Mills–Born–Infeld não plana com sinal negativo sobre com e:

é instável.

Todas as conexões -Yang–Mills não planas sobre com são instáveis. Este resultado inclui os seguintes casos especiais: Todas as conexões de Yang–Mills não planas com sinal positivo sobre com são instáveis.Chiang 2013, Teorema 3.1.9 James Simons apresentou este resultado sem publicação escrita durante um simpósio sobre "Subvariedades Mínimas e Geodésicas" em Tóquio em setembro de 1977. Todas as conexões -Yang–Mills não planas sobre com são instáveis. Todas as conexões de Yang–Mills–Born–Infeld não planas com sinal positivo sobre com são instáveis. Para , toda conexão -Yang–Mills não plana sobre o plano de Cayley é instável.

Ver também

Equações bi-Yang–Mills, modificação da equação de Yang–Mills

Referências

Bibliografia

Ligações externas

Equação F-Yang-Mills no nLab

Categoria:Geometria diferencial Categoria:Física matemática Categoria:Equações diferenciais parciais