Primo de Mersenne é um número de Mersenne (número da forma Mn = 2n – 1, com "n" número natural) que também é um número primo. Nem todo número de Mersenne é primo: entre os números de Mersenne, com efeito, há aqueles que são primos; porém, além do número um, que é número de Mersenne (M1 = 1), porém não-primo, pois singular, há também números de Mersenne compostos.

Assim: M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127, M13 = 8.191, M17 = 131.071, M19 = 524.287... etc. formam a série de mersennes primos. Mas: M0 = 0 (composto, par); M1 = 1 (singular, ímpar); M4 = 15, M6 = 63, M8 = 255, M9 = 511, M10 = 1.023, M11 = 2.047, M12 = 4.095... etc. (todos números compostos e ímpares), formam a série de mersennes não-primos (o zero; o um; e os demais, compostos ímpares).

É o maior número primo conhecido. O número é um tipo especial de primo chamado primo de Mersenne que é da forma 2 elevado a alguma potência menos 1; neste caso, 2 136 279 841 - 1, que tem 41 024 320 dígitos. Assumindo 3 000 caracteres por página, imprimi-lo levaria mais de 13 000 páginas. O novo grande primo foi encontrado usando um algoritmo otimizado para rodar em unidades de processamento gráfico (GPUs) da NVIDIA, os poderosos chips usados ​​em muitas aplicações de IA. Apenas 52 primos de Mersenne são conhecidos e, em notação binária, eles consistem em todos os 1s.

Os primos de Mersenne também apresentam uma relação com os números perfeitos, estabelecido pelo Teorema de Euclides-Euler.

História + Tabela de conjecturas de Mersenne: n ≤ 263P: Mn é Mersenne prime—: Mn é o número composto de MersenneCiano: Mersenne tinha planejadoRosa: ele tinha planejado o oposto n 2 3 5 7 11 13 17 19 Mn P P P P — P P P n 23 29 31 37 41 43 47 53 Mn — — P — — — — — n 59 61 67 71 73 79 83 89 Mn — P — — — — — P n 97 101 103 107 109 113 127 131 Mn — — — P — — P — n 137 139 149 151 157 163 167 173 Mn — — — — — — — — n 179 181 191 193 197 199 211 223 Mn — — — — — — — — n 227 229 233 239 241 251 257 263 Mn — — — — — — — — Os registros históricos dão conta de que os números primos de Mersenne, como atualmente conhecidos, já eram considerados por Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.), o notável matemático platônico, o criador da geometria euclidiana. Euclides, ao estudá-los, achou-lhes conexão com os números perfeitos. O nome atual, entretanto, veio em consequência dos estudos de Marin Mersenne, matemático francês que chegou a compilar uma lista de mersennes primos até o expoente 257. Verificou-se, posteriormente, que a lista era apenas parcialmente correta: em seu trabalho, ele omitiu M61, M89, M107 (que são primos), bem como incluiu impropriamente M67 e M257 (que são compostos). Não se tem informação de como Mersenne obteve essa lista e sua verificação rigorosa só foi levada a efeito mais de dois séculos depois.

Marin Mersenne Assim como os números de Mersenne, chamam-se assim esses números em honra ao seu mais ilustre estudioso, Marin Mersenne (Oizé, 8 de setembro de 1588 - Paris, 1 de setembro de 1648), matemático, teórico musical, padre mínimo, teólogo e filósofo francês. Dos estudos matemáticos, em especial na teoria dos números, notabilizou-o sobretudo a sua contribuição relativa aos chamados primos de Mersenne.

Propriedades Um resultado elementar sobre os números de Mersenne afirma que se é um número primo, então n também é um número primo. Isso porque o polinômio é divisível pelo polinômio :

e os dois fatores, para , são números maiores que 1.

Uma das questões em aberto na matemática é se existem finitos ou infinitos primos de Mersenne.

Uma outra propriedade é que sabendo que é divisível pelo polinómio podemos admitir que só com é que se podem obter números primos em expressões do tipo .

Recorde atual (2024) O número é um tipo especial de primo chamado primo de Mersenne que é da forma 2 elevado a alguma potência menos 1; neste caso, 2 136 279 841 - 1, que tem 41 024 320 dígitos. Assumindo 3 000 caracteres por página, imprimi-lo levaria mais de 13 000 páginas. O novo grande primo foi encontrado usando um algoritmo otimizado para rodar em unidades de processamento gráfico (GPUs) da NVIDIA, os poderosos chips usados ​​em muitas aplicações de IA. Apenas 52 primos de Mersenne são conhecidos e, em notação binária, eles consistem em todos os 1s.

Primos de Mersenne conhecidos

Abaixo esetão listados os números primos de Mersenne conhecidos, acompanhados dos descobridores e época. Nota-se que para os maiores primos de Mersenne somente por meio de computação assistida por artefatos construídos pelo gênio inventivo humano tem sido possível a descoberta. Para mais detalhes, ver Grupo de Busca dos Números Primos de Mersenne, Great Internet Mersenne Prime Search – GIMPS.

# n Mn Digitos em Mn Data de descobrimento Descobridor 1 2 3 1 Antiguidade Antiguidade 2 3 7 1 Antiguidade Antiguidade 3 5 31 2 Antiguidade Antiguidade 4 7 127 3Antiguidade Antiguidade 5 13 8.191 4 1456 anônimo 6 17 131.071 6 1588 Cataldi 7 19 524.287 6 1588 Cataldi 8 31 2.147.483.647 10 1772 Euler 9 61 2.305.843.009.213.693.951 19 1883 Pervushin 10 89 618970019…449.562.111 27 1911 Powers 11 107 162259276…010.288.127 33 1914 Powers 12 127 170141183…884.105.727 39 1876 Lucas 13 521 686479766…115.057.151 157 30 de janeiro de 1952 Robinson 14 607 531137992…031.728.127 183 30 de janeiro de 1952 Robinson 15 1.279 104079321…168.729.087 386 25 de junho de 1952 Robinson 16 2.203 147597991…697.771.007 664 7 de outubro de 1952 Robinson 17 2.281 446087557…132.836.351 687 9 de outubro de 1952 Robinson 18 3.217 259117086…909.315.071 969 8 de setembro de 1957 Riesel 19 4.253 190797007…350.484.991 1.281 3 de novembro de 1961 Hurwitz 20 4.423 285542542…608.580.607 1.332 3 de novembro de 1961 Hurwitz 21 9.689 478220278…225.754.111 2.917 11 de maio de 1963 Gillies 22 9.941 346088282…789.463.551 2.993 16 de maio de 1963 Gillies 23 11.213 281411201…696.392.191 3.376 2 de junho de 1963 Gillies 24 19.937 431542479…968.041.471 6.002 4 de março de 1971 Tuckerman 25 21.701 448679166…511.882.751 6.533 30 de outubro de 1978 Noll e Nickel 26 23.209 402874115…779.264.511 6.987 9 de fevereiro de 1979 Noll 27 44.497 854509824…011.228.671 13.395 8 de abril de 1979 Nelson e Slowinski 28 86.243 536927995…433.438.207 25.962 25 de setembro de 1982 Slowinski 29 110.503 521928313…465.515.007 33.265 25 de setembro de 1988 Colquitt e Welsh 30 132.049 512740276…730.061.311 39.751 20 de setembro de 1983 Slowinski 31 216.091 746093103…815.528.447 65.050 6 de setembro de 1985 Slowinski 32 756.839 174135906…544.677.887 227.832 19 de setembro de 1992 Slowinski e Gage 33 859.433 129498125…500.142.591 258.716 10 de janeiro de 1994 Slowinski e Gage 34 1.257.787 412245773…089.366.527 378.632 3 de setembro de 1996 Slowinski e Gage 35 1.398.269 814717564…451.315.711 420.921 13 de novembro de 1996 GIMPS / Joel Armengaud 36 2.976.221 623340076…729.201.151 895.932 24 de agosto de 1997 GIMPS / Gordon Spence 37 3.021.377 127411683…024.694.271 909.526 27 de janeiro de 1998 GIMPS / Roland Clarkson 38 6.972.593 437075744…924.193.791 2.098.960 1 de junho de 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala 39 13.466.917 924947738…256.259.071 4.053.946 14 de novembro de 2001 GIMPS / Michael Cameron 40 20.996.011 125976895…855.682.047 6.320.430 17 de novembro de 2003 GIMPS / Michael Shafer 41 24.036.583 299410429…733.969.407 7.235.733 15 de maio de 2004 GIMPS / Josh Findley 42* 25.964.951 122164630…577.077.247 7.816.230 18 de fevereiro de 2005 GIMPS / Martin Nowak 43* 30.402.457 315416475…652.943.871 9.152.052 15 de dezembro de 2005 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone 44* 32.582.657 124575026…053.967.871 9.808.358 4 de setembro de 2006 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone 45* 37.156.667 202254406…308.220.927 11.185.272 6 de setembro de 2008 GIMPS / Hans-Michael Elvenich 46* 42.643.801 169873516…562.314.751 12.837.064 12 de abril de 2009 GIMPS / Odd M. Strindmo 47* 43.112.609 316470269…697.152.511 12.978.189 23 de agosto de 2008 GIMPS / Edson Smith 48* 57.885.161 581887266…724.285.951 17.425.171 25 de janeiro de 2013 GIMPS / Curtis Cooper 49* 74.207.281 300376418084…391086436351 22.338.618 7 de janeiro de 2016 GIMPS / Curtis Cooper 50* 77.232.917 467333183359...069762179071 23.249.426 26 de dezembro de 2017 GIMPS / Jonathan Pace 51* 82.589.933 148894445742...325217902591 24.862.048 7 de dezembro de 2018 GIMPS / Patrick Laroche52136.279.841881694327503...219486871551 41.024.32021 de outubro de 2024GIMPS / Luke Durant (*) A tabela acima não é discretamente exaustiva em todo o intervalo apresentado. Até agora ( , de de (UTC)), do que a tabela contém, sabe-se (por critérios algorítmicos de busca exaustiva) que todos os primeiros primos de Mersenne de M2 a M13.466.917 já foram identificados e são ali listados. Entretanto, entre os primos M25 964 951 e M57 885 161 (respetivamente, 42º e 48º elementos da lista), não se tem registro oficial de outros primos de Mersenne — o que não significa poder afirmar-se inequivocamente não os haja: os intervalos são cada vez maiores e as buscas são cada vez mais trabalhosas. Como exemplo histórico, cite-se que o 29.º primo de Mersenne foi descoberto somente após os 30º e 31º. É digno de nota que após a descoberta de M[46º], em apenas 14 dias descobriu-se um primo de Mersenne menor (M[45º], conforme acima citado).

Padrão de distribuição dos expoentes dos números primos de Mersenne módulo 12:

Congruência 1 (mod 12): 21,15%

Congruência 5 (mod 12): 40,38%

Congruência 7 (mod 12): 25,00%

Congruência 11 (mod 12): 9,62%

Números separados por congruência (mod 12):

Congruência 1: [13, 61, 2281, 3217, 23209, 44497, 132049, 13466917, 30402457, 42643801, 74207281]

Congruência 5: [5, 17, 89, 521, 4253, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 859433, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 32582657, 43112609, 57885161, 77232917, 82589933, 136279841]

Congruência 7: [7, 19, 31, 127, 607, 1279, 2203, 4423, 110503, 216091, 1257787, 20996011, 24036583]

Congruência 11: [107, 86243, 756839, 25964951, 37156667]

E todos os primos Mercenne maiores que 5 são congruentes a 7 módulo 12

Relação com os números perfeitos

De acordo com o Teorema de Euclides-Euler, todo primo de Mersenne gera um número perfeito par e todo número perfeito par pode ser fatorado por um primo de Mersenne.

Ver também Número de Fermat Número de Mersenne Número primo Número primo estelar Teoria dos números Teorema de Euclides-Euler

Fontes

Mersenne