direita|thumb|196px|Uma parábola Parábola é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo à reta geratriz do cone, sendo que o plano não contém esta. Equivalentemente, uma parábola é a curva plana definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada diretriz). Aplicações práticas são encontradas em diversas áreas da física e da engenharia como no projeto de antenas parabólicas, radares, faróis de automóveis.
Definições e visão geral thumb|Parábola de foco e diretriz . Equações da geometria analítica Uma parábola é o conjunto de pontos no plano que são equidistantes de um ponto dado (foco) e uma reta dada (diretriz) que não contém . Assim, em coordenadas cartesianas, uma parábola de foco e reta diretriz tem equação
Uma parábola é dita estar em uma posição padrão quando seu foco está sobre o eixo das abscissas ou sobre o eixo das ordenadas e sua diretriz é, respectivamente, paralela ao eixo das ordenadas ou ao eixo das abscissas. A equação de uma parábola em uma posição padrão é chamada de equação padrão. Assim, além da equação acima, temos que:
é, também, uma equação padrão. Esta caracteriza uma parábola de foco e diretriz De fato, por definição, pertence à parábola se, e somente se:
onde, denota a distância euclidiana. Assim, para uma parábola de foco e diretriz temos:
que é equivalente à equação . O procedimento é análogo para uma parábola de foco e diretriz mostrando que, neste caso, .
O eixo de simetria de uma parábola é definido como a reta que passa por seu foco e é perpendicular a sua reta diretriz O vértice de uma parábola é definido pela intersecção da parábola com seu eixo de simetria. Notemos que nas equações acima corresponde a distância do vértice ao foco, bem como, à diretriz.
196px|thumb|direita|Um gráfico mostrando as propriedade reflexivas,a diretriz (em verde), e as linhas conectando o foco e e diretriz à parábola (em azul)Observamos que, por translação, obtemos a equação de uma parábola com vértice V foco e diretriz por:
Analogamente, uma parábola com vértice V foco e diretriz é descrita pela equação:
De maneira geral, uma parábola é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação irredutível de coeficientes reais da forma:
com . O fato da equação ser irredutível significa que ela não pode ser fatorada como um produto de dois fatores lineares.
Outras definições geométricas 200px|thumb|Parábola como seção cônica.
Uma parábola também pode ser caracterizada com uma secção cônica com uma excentricidade igual a 1. Como uma consequência disso, todas as parábolas são similares.
Uma parábola também pode ser obtida como o limite de uma sequência de elipses onde um foco é mantido fixo e o outro pode se mover para uma distância cada vez maior do foco em uma direção. Desta forma, uma parábola pode ser considerada a seção do segmento de uma elipse que possui um foco no infinito. A parábola é a transformada inversa de um cardióide.
Se girarmos uma parábola através de seu eixo em um gráfico de três dimensões temos uma forma conhecida como o parabolóide de revolução.
Dedução das equações thumb|Exemplo de uma parábola com eixo de simetria vertical. Em coordenadas cartesianas
Eixo vertical de simetria Estas deduções se baseiam em uma parábola com eixo vertical de simetria, com vértice e distância entre o vértice e o foco. Por convenção, se o vértice estiver abaixo do foco p é positivo, caso contrário p é negativo.
Como, por definição, um ponto na parábola dista do foco tanto quanto da reta diretriz podemos escrever:
onde, denota a distância euclidiana e denota a função valor absoluto. Lembrando que para qualquer real, temos:
a qual é a equação padrão procurada.
Comumente, esta equação aparece reescrita na forma de um trinômio do segundo grau:
onde:
Muitas vezes é útil descrever uma parábola via equações paramétricas. Tomando por exemplo e substituindo na equação padrão, obtemos Isto nos fornece a seguinte parametrização de uma tal parábola:
Observamos que a parametrização de i.e. é arbitrária, sendo que diferentes escolhas levam a um conjunto diferente de equações paramétricas.
Eixo horizontal de simetria thumb|Exemplo de uma parábola com eixo de simetria horizontal. Analogamente, uma parábola com eixo horizontal de simetria, vértice e distância entre o vértice e o foco tem equação padrão:
Notemos que esta pode ser reescrita no trinômio de segundo grau:
tomando:
Tomando , , e substituindo na equação padrão, obtemos as seguintes equações paramétricas para uma tal parábola:
Em coordenadas polares thumb|294x294px|Esboço da parábola com . Em coordenadas polares, uma parábola com o foco na origem e reta diretriz é dada pela equação:
De fato, tomando e e substituindo na equação polar, obtemos:
que é a equação padrão da parábola de vértice e reta diretriz .
Forma em coordenadas gaussianas A forma em coordenadas gaussianas é dada por:
e possui a normal .
Equação Quadrática De forma geral, uma parábola é descrita por uma equação quadrática de coeficientes reais da forma:
com e . A presença do termo cruzado (i.e., ) indica que a parábola tem eixo de simetria transversal em relação aos eixos canônicos . thumb|400x400px|Esboço de uma parábola em posição não padrão. Aqui, , , a rotação é dada por e e a translação é dada por e . Tal equação pode ser escrita na seguinte forma matricial:
onde é o vetor real bidimensional das incógnitas,
é uma matriz real simétrica de autovalores reais e , sendo exatamente um deles nulo,
é o vetor real bidimensional, e é um escalar real.
Rotação Uma parábola cujo eixo de simetria não é paralelo ao eixo das abscissas nem ao eixo das ordenadas pode ser descrita como uma rotação de uma parábola em uma posição padrão. Notemos que a matriz é ortogonalmente diagonalizável, i.e.:
onde é a matriz ortogonal, cujas colunas são autovetores , associados aos autovalores e , respectivamente.
Fazendo a mudança de variável:
,
podemos escrever a equação da parábola nas novas variáveis como:
a qual representa uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo , dado pelo autovetor , ou ao eixo , dado pelo autovetor .
Translação Uma parábola de vértice pode ser vista como uma translação de uma parábola de vértice na origem. Ou seja, fazendo a mudança de variável:
obtemos a equação padrão da parábola escrita nas variáveis .
Propriedade Refletora thumb|Propriedade refletora de uma parábola. Para uma superfície parabólica que seja construída com material reflexivo, um feixe de partículas paralelas ao eixo de simetria é direcionado para o seu foco.
De fato, consideramos, sem perda de generalidade, a parábola ilustrada na figura ao lado. Nela, denota seu foco, seu vértice e o ponto de incidência de um feixe de partículas paralelo ao eixo de simetria dessa parábola. A reta paralela ao eixo de simetria que contém a trajetória da onda tem interseção com o eixo das abscissas no ponto e com a diretriz da parábola no ponto . Observamos que o segmento tem interseção com o eixo das abscissas no ponto , i.e. no ponto médio entre os pontos e . Por essa razão e mais o fato de que e são equidistantes do eixo das abscissas, vemos que e são triângulos congruentes. Notamos, agora, que a reta que passa pelos pontos e têm inclinação e, portanto, é a reta tangente à parábola no ponto , pois neste ponto. Assim, se é o ângulo de incidência do feixe com a reta tangente no ponto (equivalentemente, com um elemento infinitesimal do comprimento do arco da parábola no mesmo ponto) , temos que o feixe é refletido pela parábola com o mesmo ângulo. Pela congruência dos triângulos e , vemos que a onda refletida alcança o ponto , i.e. o foco da parábola.
Aplicações práticas Algumas aplicações dessa propriedade podem ser vistas no uso de refletores parabólicos, como para captação de som a grandes distâncias com um microfone parabólico, que utiliza o refletor para coletar e focar ondas sonoras em um transdutor, conceito similar ao da antena parabólica. Esses microfones conseguem captar sons muitos distantes na direção em que é apontado e normalmente é utilizado para gravar sons da natureza e para espionagem.
Bibliografia Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997. Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982. Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954. Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007. Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995. Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.
Ver também Cone Lugar geométrico Movimento parabólico Paraboloide
Ligações externas
MathWorld: Parabola Reginaldo J. Santos. Matrizes Vetores e Geometria Analítica
Vídeo 3D de um plano seccionando um cone e definindo a curva cônica parábola
Categoria:Seções cônicas Categoria:Desenho geométrico