direita|thumb|Uma malha retangular (acima) e sua imagem sob uma transformação conforme (abaixo). Observa-se que mapeia pares de retas que se cruzam a 90° em pares de curvas que ainda se interceptam a 90°
Em matemática, uma transformação conforme (ou aplicação conforme) é uma função que preserva localmente ângulos, embora não necessariamente comprimentos.
Mais formalmente, sejam e subconjuntos abertos de . Uma função é dita conforme (ou preservadora de ângulos) em um ponto se preserva os ângulos entre curvas orientadas que passam por , preservando também a sua orientação. As transformações conformes preservam tanto os ângulos quanto as formas de figuras infinitesimais, mas não necessariamente seus tamanhos ou suas curvaturas.
A propriedade de conformidade pode ser descrita em termos da matriz jacobiana de uma transformação de coordenadas. A transformação é conforme quando a jacobiana em cada ponto é um escalar positivo multiplicado por uma matriz de rotação (ortogonal com determinante igual a um). Alguns autores estendem a definição de conformidade para incluir mapeamentos que invertem a orientação, cujos jacobianos podem ser expressos pelo produto de qualquer escalar por qualquer matriz ortogonal.
Para transformações em duas dimensões, os mapeamentos conformes que preservam a orientação são precisamente as funções analíticas complexas localmente invertíveis. Em três ou mais dimensões, o teorema de Liouville restringe rigidamente as transformações conformes a poucas categorias geométricas.
A noção de conformidade generaliza-se de forma natural para aplicações entre variedades riemannianas ou semi-riemannianas.
Em duas dimensões Se é um conjunto aberto do plano complexo , então uma função é conforme se e somente se for holomórfica e sua derivada for diferente de zero em todos os pontos de . Se for antiholomórfica (conjugada complexa de uma função holomórfica), ela preserva a magnitude dos ângulos, mas inverte a sua orientação.
Na literatura, encontra-se também outra definição de conformidade: uma aplicação que é injetora (univalente) e holomórfica em um conjunto aberto do plano. O teorema da aplicação aberta estabelece que a função inversa (definida na imagem de ) também é holomórfica. Assim, sob essa definição alternativa, uma aplicação é conforme se e somente se for bi-holomórfica. Essas duas definições não são rigorosamente equivalentes: ser injetora e holomórfica implica ter derivada não nula em todos os pontos, de acordo com o teorema da função inversa:
onde . Contudo, a função exponencial é holomórfica com derivada não nula em todo o plano, mas não é injetora por ser periódica.Richard M. Timoney (2004), Riemann mapping theorem, Trinity College Dublin.
O teorema da representação de Riemann, um dos resultados mais profundos da análise complexa, afirma que qualquer subconjunto próprio aberto e simplesmente conexo não vazio de admite uma aplicação conforme bijetora sobre o disco unitário aberto em . Em termos informais, isso significa que qualquer região plana sem orifícios pode ser transformada conformemente em um disco circular perfeito.
Transformações conformes globais na esfera de Riemann Uma aplicação da esfera de Riemann sobre si mesma é conforme se e somente se for uma transformação de Möbius.
O conjugado complexo de uma transformação de Möbius preserva a magnitude dos ângulos, mas inverte sua orientação, como ocorre nas inversões circulares.
Conformidade em relação a três tipos de ângulos Na geometria plana, existem três tipos de ângulos que podem ser preservados por uma aplicação conforme. Cada um é governado por uma álgebra real distinta: os números complexos ordinários, os números complexos hiperbólicos (split-complex) e os números duais. As transformações conformes são descritas por transformações lineares fracionárias em cada uma dessas estruturas.Tsurusaburo Takasu (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie, 2, Proceedings of the Imperial Academy 17(8): 330–8, Project Euclid.
Em três ou mais dimensões Geometria riemanniana
Na geometria riemanniana, duas métricas riemannianas e em uma variedade diferenciável são chamadas conformemente equivalentes se para alguma função estritamente positiva em . A função é denominada fator conforme.
Um difeomorfismo entre duas variedades riemannianas é chamado de aplicação conforme se o pullback da métrica for conformemente equivalente à métrica original. Por exemplo, a projeção estereográfica de uma esfera sobre o plano estendido com um ponto no infinito é uma transformação conforme.
Pode-se definir igualmente uma estrutura conforme em uma variedade suave como uma classe de equivalência de métricas riemannianas conformemente equivalentes.
Espaço euclidiano Um teorema clássico de Joseph Liouville demonstra que há uma quantidade muito mais restrita de transformações conformes em dimensões superiores do que em duas dimensões. Qualquer aplicação conforme de um subconjunto aberto do espaço euclidiano no mesmo espaço euclidiano de dimensão três ou superior pode ser composta exclusivamente a partir de três tipos de transformações: uma homotetia, uma isometria e uma transformação conforme especial. No caso de transformações lineares, uma aplicação conforme pode ser formada apenas por homotetias e isometrias, sendo denominada transformação linear conforme.
Aplicações As transformações conformes possuem amplas aplicações práticas: Na engenharia aeroespacial; Nas ciências biomédicas (incluindo o mapeamento da superfície cortical cerebral e o mapeamento genético); Na matemática aplicada (no estudo de geodésicas e na geometria diferencial); Nas geociências (incluindo a geofísica, a geografia e a cartografia); Na engenharia eletromagnética e óptica; Na eletrônica de micro-ondas e semicondutores.
Cartografia
Na cartografia, diversas projeções cartográficas, incluindo a projeção de Mercator e a projeção estereográfica, são conformes. A preservação dos ângulos locais e das marcações de bússola torna essas projeções fundamentais para a navegação marítima e aeronáutica.
Física e engenharia As transformações conformes são ferramentas valiosas na resolução de problemas de engenharia e física descritos por funções de variável complexa em geometrias irregulares. Ao escolher uma transformação conveniente, o analista pode converter um domínio físico complexo em uma geometria simplificada. Por exemplo, para calcular o campo elétrico gerado por uma carga pontual próxima ao vértice formado por dois planos condutores orientados em um determinado ângulo (onde é a coordenada complexa no plano bidimensional), a resolução analítica direta é trabalhosa. Contudo, empregando-se uma transformação conforme simples, o ângulo do vértice é mapeado exatamente em radianos, convertendo o canto condutor em uma linha reta contínua. Nesse novo domínio transformado , o cálculo do campo elétrico torna-se elementar, obtendo-se a solução que é então mapeada de volta ao domínio original expressando como função de , resultando em . Ressalta-se que as transformações conformes preservam ângulos estritamente no interior do domínio, e não sobre as suas fronteiras. Outro exemplo é a aplicação do método na resolução de problemas de contorno da dinâmica de oscilação de fluidos (sloshing) em tanques de combustível.
Se uma função é harmônica (isto é, satisfaz a Equação de Laplace ) em um domínio plano bidimensional e é transformada por uma aplicação conforme em outro domínio, a função resultante permanece harmônica. Por essa razão, qualquer grandeza física descrita por um potencial pode ser transformada conformemente preservando sua estrutura matemática. Exemplos na física incluem o campo eletrostático, o campo gravitacional e, na mecânica dos fluidos, o escoamento potencial (que modela o fluxo de fluidos incompressíveis, não viscosos e irrotacionais). Um exemplo clássico é a transformação de Joukowsky, utilizada para determinar e mapear o campo de escoamento aerodinâmico em torno de aerofólios.
Mapeamentos conformes também são empregados na resolução de equações diferenciais parciais não lineares em geometrias específicas, servindo como soluções analíticas de referência para validação de algoritmos de simulação numérica (por exemplo, na modelagem do escoamento de Stokes com superfície livre em cantos vivos).
Na teoria de controle para sistemas discretos, transformações conformes no plano complexo (como a inversão geométrica) permitem correlacionar o lugar das raízes discreto no plano Z com o lugar das raízes contínuo no plano S.
Equações de Maxwell As Equações de Maxwell são invariantes sob transformações de Lorentz, as quais formam um grupo composto por rotações espaciais e rotações hiperbólicas (boosts). Todas essas transformações são conformes, uma vez que as rotações hiperbólicas preservam ângulos hiperbólicos (rapidez) e as rotações usuais preservam ângulos circulares. A inclusão de translações no Grupo de Poincaré preserva igualmente os ângulos no espaço-tempo.
Um grupo mais amplo de transformações conformes associado às soluções das equações de Maxwell foi identificado por Ebenezer Cunningham (1908) e Harry Bateman (1910), fundamentado no método das cargas imagens e em inversões quadridimensionais em hiperesferas de pseudo-raio .
Relatividade geral Na relatividade geral, as transformações conformes constituem a classe mais simples de transformações causais. Do ponto de vista físico, descrevem universos distintos nos quais os mesmos eventos e relações causais permanecem possíveis, embora com uma estrutura métrica modificada. Esse método é amplamente utilizado na análise de diagramas conformes de Penrose e na extensão de modelos cosmológicos para além de singularidades de curvatura, permitindo a descrição do universo em regimes próximos ou anteriores ao Big Bang.
Ver também Aplicação bi-holomórfica Teorema de Carathéodory Diagrama de Penrose Transformação de Schwarz-Christoffel Grupo linear especial
Bibliografia
Constantin Carathéodory (1932) Conformal Representation, Cambridge Tracts in Mathematics and Physics.
Ligações externas
Categoria:Análise complexa Categoria:Geometria de Riemann Categoria:Projeções cartográficas Categoria:Ângulos