thumb|Um triângulo de Penrose retrata um elemento não trivial da primeira cohomologia de um anel com valores no grupo das distâncias ao observador.. Reimpresso de
Na matemática, especificamente na topologia algébrica, a cohomologia de Čech é uma teoria de cohomologia baseada nas propriedades de interseção de coberturas abertas de um espaço topológico. Recebeu esse nome em homenagem ao matemático Eduard Čech.
Motivação Seja um espaço topológico e seja uma cobertura aberta de . Denotemos por o nervo da cobertura. A ideia fundamental da cohomologia de Čech é que, para uma cobertura aberta constituída por conjuntos abertos suficientemente pequenos, o complexo simplicial abstrato resultante deve ser um bom modelo combinatório para o espaço . Para uma cobertura com essas características, a cohomologia de Čech de é definida como sendo a cohomologia simplicial do nervo. Essa ideia pode ser formalizada pela noção de uma boa cobertura. No entanto, uma abordagem mais geral consiste em tomar o limite direto dos grupos de cohomologia do nervo sobre o sistema de todas as coberturas abertas possíveis de , ordenadas por refinamento. Esta é a formulação descrita a seguir.
Construção Seja um espaço topológico e seja um pré-feixe de grupos abelianos sobre . Seja uma cobertura aberta de .
Simplexo Um -simplexo de é uma coleção ordenada de conjuntos escolhidos de , de modo que a interseção de todos esses conjuntos seja não vazia. Essa interseção é denominada o suporte de e é denotada por .
Seja agora tal -simplexo. O -ésimo bordo parcial de é definido como o -simplexo obtido pela remoção do -ésimo conjunto de , isto é:
O bordo de é definido como a soma alternada dos bordos parciais:
visto como um elemento do grupo abeliano livre gerado pelos simplexos de .
Cocadeia Uma -cocadeia de com coeficientes em é uma aplicação que associa a cada -simplexo um elemento de . Denota-se o conjunto de todas as -cocadeias de com coeficientes em por . O conjunto é um grupo abeliano sob a adição pontual.
Diferencial Os grupos de cocadeias podem ser estruturados como um complexo de cocadeias definindo o operador de cobordo por:
onde é o morfismo de restrição de para . (Observe que , mas .)
Um cálculo direto demonstra que .
O operador de cobordo é análogo à derivada exterior da cohomologia de de Rham, sendo por vezes denominado diferencial do complexo de cocadeias.
Cociclo Uma -cocadeia é chamada de -cociclo se pertencer ao núcleo de ; logo, é o conjunto de todos os -cociclos.
Assim, uma -cocadeia é um cociclo se, para todos os -simplexos , a condição de cociclo
for satisfeita.
Um 0-cociclo é uma família de seções locais de satisfazendo uma relação de compatibilidade em cada interseção :
Um 1-cociclo satisfaz, para cada interseção não vazia com :
Cobordo Uma -cocadeia é chamada de -cobordo se pertencer à imagem de ; logo, é o conjunto de todos os -cobordos.
Por exemplo, uma 1-cocadeia é um 1-cobordo se existir uma 0-cocadeia tal que, para quaisquer com interseção não vazia:
Cohomologia A cohomologia de Čech de com valores em é definida como a cohomologia do complexo de cocadeias . Assim, o -ésimo grupo de cohomologia de Čech é dado por: .
A cohomologia de Čech de é definida considerando-se os refinamentos das coberturas abertas. Se for um refinamento de , existe uma aplicação induzida na cohomologia:
As coberturas abertas de formam um conjunto direcionado sob a relação de refinamento, de modo que a aplicação acima conduz a um sistema direto de grupos abelianos. A cohomologia de Čech de com valores em é definida como o limite direto desse sistema:
A cohomologia de Čech de com coeficientes em um grupo abeliano fixo , denotada por , é definida como , onde é o feixe constante sobre determinado por .
Uma variante da teoria, denominada cohomologia de Čech numerável, é definida de modo análogo, com a exigência adicional de que todas as coberturas abertas consideradas sejam numeráveis: isto é, exista uma partição da unidade tal que cada suporte esteja contido em algum elemento da cobertura. Se for paracompacto e de Hausdorff, a cohomologia de Čech numerável coincide com a cohomologia de Čech usual.
Relação com outras teorias de cohomologia Se for homotopicamente equivalente a um complexo CW, então a cohomologia de Čech é canonicamente isomorfa à cohomologia singular . Se for uma variedade diferenciável, então também é canonicamente isomorfa à cohomologia de de Rham; o artigo sobre cohomologia de de Rham fornece uma breve revisão desse isomorfismo. Para espaços topológicos mais irregulares, a cohomologia de Čech difere da cohomologia singular. Por exemplo, se for a curva senoidal do topologista fechada, tem-se , enquanto .
Se for uma variedade diferenciável e a cobertura de for uma "boa cobertura" (isto é, todos os conjuntos são contráteis a um ponto, e todas as interseções finitas de conjuntos em são vazias ou contráteis a um ponto), então é isomorfa à cohomologia de de Rham.
Se for compacto e de Hausdorff, a cohomologia de Čech (com coeficientes em um grupo discreto) é isomorfa à cohomologia de Alexander-Spanier.
Para um pré-feixe sobre , denotemos por a sua feixificação. Existe uma aplicação canônica de comparação
da cohomologia de Čech para a cohomologia de feixes. Se for paracompacto e de Hausdorff, então é um isomorfismo. Mais geralmente, é um isomorfismo sempre que a cohomologia de Čech de todos os pré-feixes sobre com feixificação nula se anular.
Na geometria algébrica A cohomologia de Čech pode ser definida de forma mais geral para objetos em um sítio dotado de uma topologia de Grothendieck. Isso se aplica, por exemplo, ao sítio de Zariski ou ao sítio étale de um esquema . A cohomologia de Čech com valores em algum feixe é definida como:
onde o colimite percorre todas as coberturas (com respeito à topologia escolhida) de . Aqui, é definido como acima, exceto pelo fato de que as interseções -uplas de subconjuntos abertos dentro do espaço topológico ambiente são substituídas pelo produto fibrado -uplo:
Assim como na situação clássica dos espaços topológicos, existe sempre um homomorfismo canônico
da cohomologia de Čech para a cohomologia de feixes. Essa aplicação é sempre um isomorfismo nos graus e , mas pode deixar de sê-lo em graus superiores. Para a topologia de Zariski sobre um esquema separado e noetheriano, a cohomologia de Čech e a cohomologia de feixes coincidem para qualquer feixe quase-coerente. Para a topologia étale, as duas cohomologias coincidem para qualquer feixe étale sobre , desde que qualquer conjunto finito de pontos de esteja contido em algum subesquema afim aberto. Essa condição é satisfeita, por exemplo, se for quase-projetivo sobre um esquema afim.
A eventual discrepância entre a cohomologia de Čech e a cohomologia de feixes motivou a introdução de hipercoberturas: objetos mais gerais do que o nervo de Čech
Uma hipercobertura de é um determinado objeto simplicial em , isto é, uma coleção de objetos acompanhados de aplicações de bordo e degenerescência. Aplicando um feixe a , obtém-se um grupo abeliano simplicial cujo -ésimo grupo de cohomologia é denotado por . (Esse grupo coincide com quando é igual a .) Demonstra-se a existência de um isomorfismo canônico:
onde o colimite é tomado sobre todas as hipercoberturas.
Exemplos O exemplo mais elementar da cohomologia de Čech ocorre quando o pré-feixe é um feixe constante, por exemplo, . Nesses casos, cada -cocadeia é simplesmente uma função que associa cada -simplexo a um elemento de . Consideremos o cálculo da primeira cohomologia de Čech com valores em do círculo unitário . Dividindo em três arcos e escolhendo vizinhanças abertas suficientemente pequenas, obtém-se uma cobertura aberta na qual , mas .
Dado qualquer 1-cociclo , a imagem é uma 2-cocadeia cujos argumentos são da forma , , , com (visto que e, portanto, não define um 2-simplexo para qualquer permutação ). Os primeiros três tipos de argumentos impõem ; o quarto fornece:
Essa função fica inteiramente determinada pelos valores de , e . Portanto:
Por outro lado, dado qualquer 1-cobordo , tem-se:
Examinando com atenção, nota-se que e, desse modo, cada 1-cobordo é univocamente determinado por e . Isso estabelece o conjunto dos 1-cobordos:
Por conseguinte, . Sendo uma boa cobertura de , decorre do teorema de Leray que .
Também é possível computar a cohomologia de feixes coerentes de sobre a reta projetiva complexa utilizando o complexo de Čech. Tomando a cobertura:
obtêm-se os seguintes módulos do feixe cotangente:
Adotando a convenção , obtém-se o complexo de Čech:
Como é injetiva e o único elemento que não pertence à imagem de é , conclui-se que:
Bibliografia
Categoria:Teorias de cohomologia Categoria:Álgebra