A análise funcional é o ramo da matemática, e mais especificamente da análise, que trata do estudo de espaços de funções. Tem suas raízes históricas no estudo de transformações, tais como a Transformada de Fourier, e no estudo de equações diferenciais e equações integrais. A palavra funcional remonta ao cálculo de variações, implicando uma função cujo argumento é uma função. Seu uso em geral é atribuído a Volterra.César R. De Oliveira, Universidade Federal de Sao Carlos, Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Brazil), Introdução à análise funcional; IMPA, 2001
Um grande impulso para o avanço da análise funcional durante o século XX foi a modelagem, devida a John von Neumann, da mecânica quântica em espaços de Hilbert.
Entre os teoremas importantes da análise funcional, estão: teorema de Hahn-Banach teorema da função aberta teorema do ponto fixo de Banach teorema do ponto fixo de Schauder teorema de Banach-Alaoglu
Relação com outras áreas da matemática A análise funcional faz uso de muitos conceitos de álgebra linear, e pode ser considerada até certo ponto como o estudo de espaços normados de dimensão infinita. Durante o século XX diversas técnicas da topologia foram aplicadas no estudo da análise funcional, principalmente a teoria do grau. Um tópico da análise funcional que possui forte relação com a topologia é o estudo dos espaços vetoriais localmente convexos, onde não se admite necessariamente a existência de uma norma definindo uma topologia sobre os espaços vetoriais estudados. A partir da segunda metade do século XX, graças aos trabalhos de von Neumann, Naimark e Gelfand, a análise funcional tem sido utilizada no estudo de álgebras não-comutativas e da K-teoria algébrica.
Ver também
Física matemática Espaços topológicos Funções contínuas Espaços métricos Espaços de medida Funções integráveis Integrais de Riemann e Lebesgue Integral de Riemann Integral de Lebesgue Espaço Lp Espaço normal Espaço normado Espaço de Banach Aplicação linear Funcional linear Espaços dual Espaços de Hilbert Séries de Fourier Operadores lineares contínuos Ergodicidade
Bibliografia Chaim Samuel Hönig, Análise funcional e o problema de Sturm-Liouville; Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Conselho Nacional de Pesquisas, 1971, Luis Adauto Medeiros, Tópicos de análise funcional; Instituto de Matemática. Universidade Federal de Pernambuco, 1968 Chaim Samuel Hönig, Análise funcional e aplicações; São Paulo, Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, 1970. Klaus Floret, Algumas idéias básicas da análise funcional linear; Sociedade Paranaense de Matemática, 1987 Semana de Análise Funcional não Linear, Atas de Análise Funcional não Linear: Instituto de Matemática e Estatística da USP.; Sociedade Brasileira de Matemática, 1974 Jaime Lesmes, Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Brazil), Seminário de análise funcional; Instituto de Matemática Aplicada, 1976