Em topologia, um pré-feixe em um espaço topológico X é um funtor contravariante da categoria dos abertos de X numa categoria .
A categoria dos abertos de um espaço topológico tem como morfismos as inclusões, e estes são levados por um pré-feixe nos chamados morfismos de restrição. Caso o pré-feixe satisfaça duas propriedades de colagem, então ele é chamado de feixe. Geralmente a categoria é a categoria Ab, cujos objetos são grupos abelianos e cujos morfismos são homorfismos. Temos também os (pré)-feixes de funções, onde a imagem de um aberto é um conjunto (muitas vezes um anel) de funções dos elementos do aberto em outra categoria, comumente um corpo ou anel.
Dizemos que os elementos de são as seções do abertos . Sejam e dois abertos de , e o morfismo inclusão de em . A imagem de por aplicada num elemento de é chamada de restrição de s a U.
Definições e exemplos Em muitos ramos da matemática, várias estruturas definidas em um espaço topológico (por exemplo, uma variedade diferenciável) podem ser naturalmente localizadas ou restringidas a subconjuntos abertos : exemplos típicos incluem funções contínuas com valores reais ou complexos, funções vezes diferenciáveis (com valores reais ou complexos), funções reais limitadas, campos vetoriais e seções de qualquer fibrado vetorial sobre o espaço. A capacidade de restringir dados a subconjuntos abertos menores dá origem ao conceito de pré-feixes. Grosso modo, os feixes são então aqueles pré-feixes onde dados locais podem ser colados para formar dados globais.
Pré-feixes Seja um espaço topológico. Um pré-feixe de conjuntos sobre consiste nos seguintes dados: Para cada conjunto aberto , existe um conjunto . Este conjunto também é denotado por . Os elementos deste conjunto são chamados de seções de sobre . As seções de sobre são chamadas de seções globais de . Para cada inclusão de conjuntos abertos , uma função . Em vista de muitos dos exemplos abaixo, os morfismos são chamados de morfismos de restrição. Se , então sua restrição é frequentemente denotada por por analogia com a restrição de funções. Os morfismos de restrição são obrigados a satisfazer duas propriedades adicionais (functoriais): Para cada conjunto aberto de , o morfismo de restrição é o morfismo identidade em . Se tivermos três conjuntos abertos , então a composta . Informalmente, o segundo axioma diz que não importa se restringimos a em uma única etapa ou se restringimos primeiro a e depois a . Uma reformulação functorial concisa desta definição é dada mais adiante.
Muitos exemplos de pré-feixes vêm de diferentes classes de funções: a cada , pode-se atribuir o conjunto das funções contínuas com valores reais em . Os mapas de restrição são então dados simplesmente pela restrição de uma função contínua em a um subconjunto aberto menor , que novamente é uma função contínua. Os dois axiomas de pré-feixe são imediatamente verificados, fornecendo assim um exemplo de um pré-feixe. Isso pode ser estendido para um pré-feixe de funções holomorfas e um pré-feixe de funções suaves .
Outra classe comum de exemplos é atribuir a o conjunto das funções constantes com valores reais em . Este pré-feixe é chamado de pré-feixe constante associado a e é denotado por .
Feixes Dado um pré-feixe, uma pergunta natural a se fazer é até que ponto suas seções sobre um conjunto aberto são especificadas por suas restrições a subconjuntos abertos de . Um feixe é um pré-feixe cujas seções são, em um sentido técnico, unicamente determinadas por suas restrições.
Axiomaticamente, um feixe é um pré-feixe que satisfaz ambos os seguintes axiomas: (Localidade) Suponha que seja um conjunto aberto, seja uma cobertura aberta de com para todo , e sejam seções. Se para todo , então . (Colagem) Suponha que seja um conjunto aberto, seja uma cobertura aberta de com para todo , e seja uma família de seções. Se todos os pares de seções concordam na interseção de seus domínios, isto é, se para todos , então existe uma seção tal que para todo .
Em ambos os axiomas, a hipótese sobre a cobertura aberta é equivalente à suposição de que .
A seção cuja existência é garantida pelo axioma 2 é chamada de colagem, concatenação ou reunião das seções . Pelo axioma 1, ela é única. Seções e que satisfazem a pré-condição de concordância do axioma 2 são frequentemente chamadas de compatíveis; assim, os axiomas 1 e 2 juntos afirmam que qualquer coleção de seções compatíveis aos pares pode ser colada de forma única. Um pré-feixe separado, ou monopré-feixe, é um pré-feixe que satisfaz o axioma 1.
O pré-feixe de funções contínuas mencionado acima é um feixe. Esta afirmação se reduz a verificar que, dadas funções contínuas que concordam nas interseções , existe uma única função contínua cuja restrição é igual às . Por outro lado, o pré-feixe constante geralmente não é um feixe, pois falha em satisfazer o axioma da localidade no conjunto vazio (isso é explicado com mais detalhes em feixe constante).
Pré-feixes e feixes são tipicamente denotados por letras maiúsculas, sendo particularmente comum, presumivelmente pela palavra francesa para feixe, faisceau. O uso de letras caligráficas como também é comum.
Pode-se mostrar que para especificar um feixe, é suficiente especificar sua restrição aos conjuntos abertos de uma base para a topologia do espaço subjacente. Além disso, também pode ser mostrado que é suficiente verificar os axiomas de feixe acima relativos aos conjuntos abertos de uma cobertura. Esta observação é usada para construir outro exemplo que é crucial em geometria algébrica, a saber, feixes quase-coerentes. Aqui, o espaço topológico em questão é o espectro de um anel comutativo , cujos pontos são os ideais primos em . Os conjuntos abertos formam uma base para a topologia de Zariski neste espaço. Dado um -módulo , existe um feixe, denotado por sobre , que satisfaz onde é a localização de em .
Há outra caracterização de feixes que é equivalente à discutida anteriormente. Um pré-feixe é um feixe se e somente se para qualquer aberto e qualquer cobertura aberta de , é o produto fibrado . Esta caracterização é útil na construção de feixes; por exemplo, se são feixes abelianos, então o núcleo de um morfismo de feixes é um feixe, uma vez que limites projetivos comutam com limites projetivos. Por outro lado, o cokernel nem sempre é um feixe porque limites indutivos não comutam necessariamente com limites projetivos. Uma maneira de corrigir isso é considerar espaços topológicos noetherianos; todos os conjuntos abertos são compactos, de modo que o cokernel é um feixe, uma vez que limites projetivos finitos comutam com limites indutivos.
Exemplos adicionais
Feixe de seções de um mapa contínuo Qualquer mapa contínuo de espaços topológicos determina um feixe sobre definindo
Qualquer tal é comumente chamado de seção de , e este exemplo é a razão pela qual os elementos em são geralmente chamados de seções. Esta construção é especialmente importante quando é a projeção de um fibrado sobre seu espaço base. Por exemplo, os feixes de funções suaves são os feixes de seções do fibrado trivial.
Outro exemplo: o feixe de seções de
é o feixe que atribui a cada o conjunto dos ramos do logaritmo complexo em .
Dado um ponto e um grupo abeliano , o feixe skyscraper é definido como segue: se é um conjunto aberto contendo , então . Se não contém , então , o grupo trivial. Os mapas de restrição são ou a identidade em , se ambos os conjuntos abertos contêm , ou o mapa zero caso contrário.
Feixes em variedades Em uma -variedade de dimensão , há uma série de feixes importantes, como o feixe de funções vezes continuamente diferenciáveis (com ). Suas seções sobre algum aberto são as funções . Para , este feixe é chamado de feixe estrutural e é denotado por . As funções não nulas também formam um feixe, denotado por . As formas diferenciais (de grau ) também formam um feixe . Em todos esses exemplos, os morfismos de restrição são dados pela restrição de funções ou formas.
A atribuição que envia para as funções de suporte compacto em não é um feixe, pois não há, em geral, maneira de preservar essa propriedade ao passar para um subconjunto aberto menor. Em vez disso, isso forma um cofeixe, um conceito dual onde os mapas de restrição vão na direção oposta à dos feixes. No entanto, tomar o dual desses espaços vetoriais dá um feixe, o feixe de distribuições.
Pré-feixes que não são feixes Além do pré-feixe constante mencionado acima, que geralmente não é um feixe, há mais exemplos de pré-feixes que não são feixes: Seja o espaço topológico de dois pontos com a topologia discreta. Defina um pré-feixe como segue: O mapa de restrição é a projeção de sobre sua primeira coordenada, e o mapa de restrição é a projeção de sobre sua segunda coordenada. é um pré-feixe que não é separado: uma seção global é determinada por três números, mas os valores dessa seção sobre e determinam apenas dois desses números. Assim, embora possamos colar quaisquer duas seções sobre e , não podemos colá-las de forma única. Seja a reta real, e seja o conjunto das funções contínuas limitadas em . Este não é um feixe porque nem sempre é possível colar. Por exemplo, seja o conjunto de todos os tais que . A função identidade é limitada em cada . Consequentemente, obtemos uma seção em . No entanto, essas seções não se colam, porque a função não é limitada na reta real. Consequentemente, é um pré-feixe, mas não um feixe. De fato, é separado porque é um sub-pré-feixe do feixe de funções contínuas.
Motivando feixes a partir de espaços analíticos complexos e geometria algébrica Uma das motivações históricas para os feixes veio do estudo de variedades complexas, da geometria analítica complexa, e da teoria dos esquemas da geometria algébrica. Isso ocorre porque em todos os casos anteriores, consideramos um espaço topológico juntamente com um feixe estrutural dando a ele a estrutura de uma variedade complexa, espaço analítico complexo ou esquema. Essa perspectiva de equipar um espaço topológico com um feixe é essencial para a teoria dos espaços localmente anelados (veja abaixo).
Desafios técnicos com variedades complexas Uma das principais motivações históricas para introduzir feixes foi construir um dispositivo que acompanhasse as funções holomorfas em variedades complexas. Por exemplo, em uma variedade complexa compacta (como o espaço projetivo complexo ou o lugar de vanishing no espaço projetivo de um polinômio homogêneo), as únicas funções holomorfas
são as funções constantes. Isso significa que existem duas variedades complexas compactas que não são isomorfas, mas nevertheless seus anéis de funções holomorfas globais, denotados , são isomorfos. Compare isso com as variedades suaves, onde toda variedade pode ser imersa em algum , portanto seu anel de funções suaves vem da restrição das funções suaves de , das quais existem muitas.
Outra complexidade ao considerar o anel de funções holomorfas em uma variedade complexa é que, dado um conjunto aberto suficientemente pequeno , as funções holomorfas serão isomorfas a . Os feixes são uma ferramenta direta para lidar com essa complexidade, pois tornam possível acompanhar a estrutura holomorfa no espaço topológico subjacente de em subconjuntos abertos arbitrários . Isso significa que, à medida que se torna topologicamente mais complexo, o anel pode ser expresso a partir da colagem dos . Observe que, às vezes, esse feixe é denotado por ou apenas , ou mesmo quando queremos enfatizar o espaço ao qual o feixe estrutural está associado.
Acompanhando subvariedades com feixes Outro exemplo comum de feixes pode ser construído considerando uma subvariedade complexa . Há um feixe associado que toma um subconjunto aberto e fornece o anel de funções holomorfas em . Esse tipo de formalismo mostrou-se extremamente poderoso e motiva muita álgebra homológica, como a cohomologia de feixes, já que uma teoria de interseção pode ser construída usando esses tipos de feixes a partir da fórmula de interseção de Serre.