Em física, uma teoria de gauge (ou teoria de calibre) é um tipo de teoria de campo na qual o Lagrangiano, e portanto a dinâmica do próprio sistema, não se altera sob transformações locais de acordo com certas famílias suaves de operações (grupos de Lie). Formalmente, o Lagrangiano é invariante sob essas transformações.
O termo "gauge" (ou "calibre") refere-se a qualquer formalismo matemático específico para regular graus de liberdade redundantes no Lagrangiano de um sistema físico. As transformações entre possíveis gauges, chamadas transformações de gauge, formam um grupo de Lie — referido como o grupo de simetria ou grupo de gauge da teoria. Associado a qualquer grupo de Lie está a álgebra de Lie dos geradores do grupo. Para cada gerador do grupo surge necessariamente um campo correspondente (geralmente um campo vetorial) chamado campo de gauge. Os campos de gauge são incluídos no Lagrangiano para garantir sua invariância sob as transformações locais do grupo (chamada invariância de gauge). Quando tal teoria é quantizada, os quantas dos campos de gauge são chamados de bósons de gauge. Se o grupo de simetria é não comutativo, então a teoria de gauge é chamada de teoria de gauge não abeliana, sendo o exemplo usual a teoria de Yang–Mills.
Muitas teorias poderosas em física são descritas por Lagrangianos que são invariantes sob alguns grupos de transformação de simetria. Quando são invariantes sob uma transformação realizada identicamente em cada ponto do espaço-tempo no qual os processos físicos ocorrem, diz-se que possuem uma simetria global. A simetria local, pedra angular das teorias de gauge, é uma restrição mais forte. De fato, uma simetria global é apenas uma simetria local cujos parâmetros do grupo são fixos no espaço-tempo (da mesma forma que um valor constante pode ser entendido como uma função de um certo parâmetro, cuja saída é sempre a mesma).
As teorias de gauge são importantes como as teorias de campo bem-sucedidas que explicam a dinâmica das partículas elementares. A eletrodinâmica quântica é uma teoria de gauge abeliana com o grupo de simetria U(1) e tem um campo de gauge, o quadripotencial eletromagnético, sendo o fóton o bóson de gauge. O Modelo Padrão é uma teoria de gauge não abeliana com o grupo de simetria U(1) × SU(2) × SU(3) e tem um total de doze bósons de gauge: o fóton, três bósons fracos e oito glúons.
As teorias de gauge também são importantes para explicar a gravitação na teoria da relatividade geral. Seu caso é um tanto incomum, pois o campo de gauge é um tensor, o tensor de Lanczos. As teorias da gravidade quântica, começando com a teoria de gauge da gravitação, também postulam a existência de um bóson de gauge conhecido como gráviton. As simetrias de gauge podem ser vistas como análogas ao princípio da covariância geral da relatividade geral, no qual o sistema de coordenadas pode ser escolhido livremente sob difeomorfismos arbitrários do espaço-tempo. Tanto a invariância de gauge quanto a invariância por difeomorfismo refletem uma redundância na descrição do sistema. Uma teoria alternativa da gravitação, a teoria da gravitação de gauge, substitui o princípio da covariância geral por um verdadeiro princípio de gauge com novos campos de gauge.
Historicamente, essas ideias foram formuladas pela primeira vez no contexto do eletromagnetismo clássico e depois na relatividade geral. No entanto, a importância moderna das simetrias de gauge apareceu primeiro na mecânica quântica relativística dos elétronseletrodinâmica quântica, elaborada abaixo. Hoje, as teorias de gauge são úteis na matéria condensada, na nuclear e na física de altas energias, entre outros subcampos.
História
O conceito e o nome de teoria de gauge derivam do trabalho de Hermann Weyl em 1918. Weyl, numa tentativa de generalizar as ideias geométricas da relatividade geral para incluir o eletromagnetismo, conjecturou que a Eichinvarianz ou invariância sob a mudança de escala (ou "gauge") também poderia ser uma simetria local da relatividade geral. Após o desenvolvimento da mecânica quântica, Weyl, Vladimir Fock e Fritz London substituíram o simples fator de escala por uma quantidade complexa e transformaram a transformação de escala numa mudança de fase, que é uma simetria de gauge U(1). Isso explicou o efeito do campo eletromagnético na função de onda de uma partícula elementar carregada quântica. O artigo de Weyl de 1929 introduziu o conceito moderno de invariância de gauge posteriormente popularizado por Wolfgang Pauli em sua revisão de 1941. Em retrospecto, a formulação de James Clerk Maxwell, em 1864–65, da eletrodinâmica em "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field" sugeriu a possibilidade de invariância, quando ele afirmou que qualquer campo vetorial cujo rotacional se anula — e pode, portanto, normalmente ser escrito como um gradiente de uma função — poderia ser adicionado ao potencial vetorial sem afetar o campo magnético. De forma semelhante despercebida, David Hilbert havia derivado as equações de campo de Einstein postulando a invariância da ação sob uma transformação geral de coordenadas. A importância dessas invariâncias de simetria permaneceu despercebida até o trabalho de Weyl.
Inspirado pelas descrições de Pauli da conexão entre a conservação de carga e a teoria de campo impulsionada pela invariância, Chen Ning Yang procurou uma teoria de campo para a ligação dos núcleos atômicos baseada na conservação do isospin nuclear. Em 1954, Yang e Robert Mills generalizaram a invariância de gauge do eletromagnetismo, construindo uma teoria baseada na ação do grupo de simetria (não abeliano) SU(2) sobre o dubleto de isospin de prótons e nêutrons. Isso é semelhante à ação do grupo U(1) sobre os campos spinoriais da eletrodinâmica quântica.
A teoria de Yang–Mills tornou-se a teoria protótipo para resolver parte da confusão na física de partículas elementares. Esta ideia mais tarde encontrou aplicação na teoria quântica de campos da força fraca, e na sua unificação com o eletromagnetismo na teoria eletrofraca. As teorias de gauge tornaram-se ainda mais atraentes quando se percebeu que as teorias de gauge não abelianas reproduziam uma característica chamada liberdade assintótica. A liberdade assintótica era considerada uma característica importante das interações fortes. Isso motivou a busca por uma teoria de gauge para a força forte. Esta teoria, agora conhecida como cromodinâmica quântica, é uma teoria de gauge com a ação do grupo SU(3) sobre o tripleto de cor dos quarks. O Modelo Padrão unifica a descrição do eletromagnetismo, das interações fracas e das interações fortes na linguagem da teoria de gauge.
Na década de 1970, Michael Atiyah começou a estudar a matemática das soluções para as equações clássicas de Yang–Mills. Em 1983, o aluno de Atiyah, Simon Donaldson, baseou-se neste trabalho para mostrar que a classificação diferenciável das 4-variedades suaves é muito diferente da sua classificação a menos de homeomorfismo. Michael Freedman usou o trabalho de Donaldson para exibir R4 exóticos, ou seja, estruturas diferenciáveis exóticas no espaço euclidiano quadridimensional. Isso levou a um interesse crescente pela teoria de gauge por si só, independentemente de seus sucessos na física fundamental. Em 1994, Edward Witten e Nathan Seiberg inventaram técnicas de teoria de gauge baseadas na supersimetria que permitiram o cálculo de certos invariantes topológicos; (os invariantes de Seiberg–Witten). Estas contribuições para a matemática a partir da teoria de gauge levaram a um interesse renovado nesta área.
A importância das teorias de gauge na física é exemplificada pelo sucesso do formalismo matemático em fornecer uma estrutura unificada para descrever as teorias quânticas de campos do eletromagnetismo, da força fraca e da força forte. Esta teoria, conhecida como Modelo Padrão, descreve com precisão as previsões experimentais relativas a três das quatro forças fundamentais da natureza, e é uma teoria de gauge com o grupo de gauge SU(3) × SU(2) × U(1). Teorias modernas como a teoria das cordas, bem como a relatividade geral, são, de uma forma ou de outra, teorias de gauge.
Veja Jackson e Okun para a história inicial da teoria de gauge e Pickering para mais sobre a história das teorias de gauge e das teorias quânticas de campos.
Descrição
Simetrias globais e locais
Simetria global
Em física, a descrição matemática de qualquer situação física geralmente contém graus de liberdade em excesso; a mesma situação física é igualmente bem descrita por muitas configurações matemáticas equivalentes. Por exemplo, na dinâmica newtoniana, se duas configurações estão relacionadas por uma transformação de Galileu (uma mudança de referencial inercial) elas representam a mesma situação física. Essas transformações formam um grupo de "simetrias" (em termos matemáticos, "automorfismos") da teoria, e uma situação física corresponde não a uma configuração matemática individual, mas a uma classe de configurações relacionadas entre si por este grupo de simetria (ou seja, uma órbita de configurações sob a ação do grupo de automorfismos).
Esta ideia pode ser generalizada para incluir simetrias locais e globais, análogas a "mudanças de coordenadas" muito mais abstratas numa situação em que não há um sistema de coordenadas "inercial" preferido que cubra todo o sistema físico. Uma teoria de gauge é um modelo matemático que tem simetrias deste tipo, juntamente com um conjunto de técnicas para fazer previsões físicas consistentes com as simetrias do modelo.
Exemplo de simetria global Quando uma quantidade que ocorre na configuração matemática não é apenas um número, mas tem algum significado geométrico, como uma velocidade ou um eixo de rotação, a sua representação como números dispostos num vetor ou matriz também é alterada por uma transformação de coordenadas. Por exemplo, se uma descrição de um padrão de fluxo de fluido indica que a velocidade do fluido nas vizinhanças de (, ) é 1 m/s na direção positiva de x, então uma descrição da mesma situação em que o sistema de coordenadas foi rodado 90 graus no sentido horário indica que a velocidade do fluido nas vizinhanças de (, ) é 1 m/s na direção negativa de y. A transformação de coordenadas afetou tanto o sistema de coordenadas usado para identificar a localização da medição quanto a base na qual seu valor é expresso. Contanto que esta transformação seja realizada globalmente (afetando a base de coordenadas da mesma forma em todos os pontos), o efeito sobre valores que representam a taxa de variação de alguma quantidade ao longo de algum caminho no espaço e no tempo ao passar pelo ponto P é o mesmo que o efeito sobre valores que são verdadeiramente locais a P.
Simetria local
Uso de fibrados para descrever simetrias locais Para descrever adequadamente situações físicas em teorias mais complexas, é frequentemente necessário introduzir uma "base de coordenadas" para alguns dos objetos da teoria que não têm esta relação simples com as coordenadas usadas para rotular pontos no espaço e no tempo. (Em termos matemáticos, a teoria envolve um fibrado no qual a fibra em cada ponto do espaço base consiste em bases de coordenadas possíveis para uso ao descrever os valores dos objetos naquele ponto.) Para explicitar uma configuração matemática, é necessário escolher uma base de coordenadas particular em cada ponto (uma seção local do fibrado) e expressar os valores dos objetos da teoria (geralmente "campos" no sentido do físico) usando esta base. Duas configurações matemáticas são equivalentes (descrevem a mesma situação física) se estiverem relacionadas por uma transformação desta base de coordenadas abstrata (uma mudança de seção local, ou transformação de gauge).