Em Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, o teorema de Poynting expressa a lei da conservação da energia para o campo eletromagnético, sob a forma de uma equação diferencial parcial, estabelecida pelo físico britânico John Henry Poynting.
O teorema de Poynting é análogo ao teorema de trabalho e energia da mecânica clássica, e matematicamente semelhante à equação da continuidade, pois relaciona a energia armazenada no campo eletromagnético ao trabalho feito sobre uma distribuição de carga pelo campo elétrico, através do fluxo de energia por unidade de tempo.
Definição
Geral Em palavras, o teorema é um balanço de energiaIntroduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, p.364, ISBN 81-7758-293-3:
A taxa de transferência de energia (por unidade de volume) a partir de uma região de espaço é igual à taxa de trabalho realizado(por unidade de tempo) sobre uma distribuição de carga, mais o fluxo de energia deixando essa região.
Relaciona a derivada temporal da densidade de energia eletromagnética com o fluxo de energia e a taxa em que o campo elétrico realiza um trabalho sobre uma distribuição de cargas.
Na forma diferencial, pode ser expressada pela fórmula:
é a divergência do vetor de Poynting (fluxo de energia saindo da região), o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma distribuição de cargas (J é a Densidade de corrente livre devido ao movimento das cargas), e u é a energia armazenada no campo eletromagnético, dada pela formula:
em que D é o deslocamento elétrico, S é o vetor de Poynting, B representa a densidade de fluxo magnético e H a intensidade de campo magnético.
A partir do teorema da divergência, o teorema de Poynting pode ser reescrito na forma integral:
onde .é o vetor de Poynting instantâneo, e são as constantes de permeabilidades magnética e elétrica do vácuo respectivamente.
Engenharia Elétrica Do ponto de vista da engenharia elétrica, o teorema geralmente é escrito com o termo densidade de energia eletromagnética ampliado, de forma que se assemelha à equação da continuidade:
Onde: é a permissividade elétrica do vácuo; é a permeabilidade magnética do vácuo; é a potência reativa acumulada no campo elétrico; é a potência reativa acumulada no campo magnético; representa a densidade de energia elétrica dissipada pela força de Lorentz agindo sobre distribuições de carga.
Verificação do Teorema Usando o teorema na forma integral, é simples demonstrar a validade do mesmo em um fio circulando uma corrente contínua.Applied Electromagnetics: Early Transmission Lines Approach, Stuart M.Wentworth, John Wiley & Sons, Techbooks 2007, p.358-360, ISBN 85-7780-426-7
Considere uma corrente contínua em um comprimento de um fio de raio . Agora, considerando que os campos elétrico e magnético não variam com o tempo, a taxa de variação da energia armazenada nos mesmos é igual a zero, portanto: thumb|(a) Uma corrente contínua, fluindo na direção +z em um fio de raio a.
(b) Seção transversal do fio mostrando a orientação dos campos e o vetor de Poynting instantâneo na superfície do fio.
A corrente é assumida como estando uniformemente distribuída, de modo que a densidade de corrente seja:
sendo o vetor unitário apontando na direção +z.
Pela lei de Ohm, o campo elétrico é
sendo a condutividade elétrica do fio.
No membro direito do teorema, usando coordenadas cilíndricas, temos:
No membro da esquerda, precisamos de H. Aplicando a lei de Ampère, podemos determinar H na superfície do fio como sendo
sendo o vetor unitário na direção tangente ao fio.
O vetor de poynting instantâneo é:
sendo o vetor unitário na direção radial do fio.
O vetor está direcionado radialmente para o interior do fio. Integrando sobre a superfície, temos:
Esta parte do teorema diz que é a potência fluindo para fora do fio.
Aplicando esses valores no teorema, temos
Logo, se não há uma variação na energia armazenada no campo eletromagnético que flui nessa região, a potência que flui para fora dessa região do fio é dissipada na forma de trabalho sobre as cargas por efeito joule.
Referências
Categoria:Eletromagnetismo Categoria:Teoremas de física