Um espaço de Hausdorff (ou espaço separado) é um espaço topológico no qual quaisquer dois pontos distintos têm vizinhanças disjuntas. Esta propriedade era uma dos axiomas da definição original de espaço topológico dada por Felix Hausdorff.
Exemplos Qualquer espaço métrico é de Hausdorff; Qualquer espaço grosseiro com mais de um elemento não é de Hausdorff; O espaço com a topologia não é separado: os pontos e podem ser separados um do outro mas não do ponto .
Propriedades Num espaço de Hausdorff, o limite de uma sucessão, quando existe, é único; Um subconjunto compacto de um espaço de Hausdorff é fechado; Um espaço X é de Hausdorff se e só se a diagonal Δ = {(x,x) | x ∈ X} de X × X é fechada na topologia produto; Qualquer espaço de Hausdorff é T1; Um subconjunto de um espaço de Hausdorff é de Hausdorff; Um produto de espaços de Hausdorff é de Hausdorff; Se o espaço X tem um número finito de elementos então o espaço é Hausdorff se, e somente se, a topologia é discreta.
Relação com outros axiomas de separação Uma condição mais fraca que Hausdorff é a de um Espaço T1: Uma condição mais forte que Hausdorff é ser um espaço de Urysohn ou Espaço T2½, em que dois pontos distintos x e y podem ser separados por vizinhanças fechadas distintas.
Referências .
Categoria:Topologia (matemática)