Este artigo abrange a correlação entre duas variáveis. O termo correlação pode também significar a relação invertida de duas funções ou a correlação eletrônica em sistemas moleculares. Em probabilidade e estatística, correlação, dependência ou associação é qualquer relação estatística (causal ou não causal) entre duas variáveis e correlação é qualquer relação dentro de uma ampla classe de relações estatísticas que envolva dependência entre duas variáveis. Por exemplo, a correlação entre a estatura dos pais e a estatura dos pais e dos filhos. Embora seja comumente denotada como a medida de relação entre duas variáveis aleatórias, correlação não implica causalidade. Em alguns casos, correlação não identifica dependência entre as variáveis. Em geral, há pares de variáveis que apresentam forte dependência estatística, mas que possuem correlação nula. Para este casos, são utilizadas outras medidas de dependência.
Informalmente correlação é sinônimo de dependência. Formalmente variáveis são dependentes se não satisfizerem a propriedade matemática da independência probabilística. Em termos técnicos, correlação refere–se a qualquer um dos vários tipos específicos de relação entre os valores médios. Existem diferentes coeficientes de correlação ( ou ) para medir o grau de correlação. Um dos coeficientes de correlação mais conhecidos é o coeficiente de correlação de Pearson, obtido pela divisão da covariância de duas variáveis pelo produto dos seus desvios padrão e sensível a uma relação linear entre duas variáveis. Entretanto, há outros coeficientes de correlação mais robustos que o coeficiente de correlação de Pearson. Isto é, mais sensíveis às relações não lineares.Croxton, Frederick Emory; Cowden, Dudley Johnstone; Klein, Sidney (1968) Applied General Statistics, Pitman. ISBN 9780273403159 (page 625)Dietrich, Cornelius Frank (1991) Uncertainty, Calibration and Probability: The Statistics of Scientific and Industrial Measurement 2nd Edition, A. Higler. ISBN 9780750300605 (Page 331)Aitken, Alexander Craig (1957) Statistical Mathematics 8th Edition. Oliver & Boyd. ISBN 9780050013007 (Page 95)
Histórico Os conceitos de correlação e de regressão originaram—se nos anos de 1880 com Sir Francis Galton (1822 – 1911), de acordo com sua autobiografia Memories of My Life, publicada em 1890. Em seus estudos sobre o diâmetro das sementes das ervilhas—de—cheiro, Galton chegou à equação de reversão à média:
,
em que são o diâmetro das sementes das plantas filhas, são o diâmetro das sementes das plantas pais e é a reversão (posteriormente, regressão). Em suas pesquisas sobre a comparação entre estaturas de pais e filhos, Galton usou o termo regressão pela primeira vez para denotar a regressão à média da população observada. Com base na análise da tábua de frequência bidimensional representada pelas alturas dos filhos adultos e meio—pais (média do pai e da mãe), Galton chegou à fórmula da superfície da representação gráfica (atualmente, a fórmula da função normal bidimensional) e à expressão da co—relação (atualmente, correlação) como conseqüência das variações devidas a causas comuns.
O desenvolvimento da correlação, com a publicação de Natural Inheritance em 1889, marca o início do período moderno da estatística. A correlação prometia ser útil em muitos campos científicos, especialmente diante da necessidade de estabelecer diretrizes de causalidade. Entretanto, na época de Galton a disciplina de teoria estatística era não existia na Inglaterra (não havia curso universitário revistas especializadas sobre o assunto). Então, Galton percebeu que regressão e correlação poderiam ser o ponto de partida de uma nova disciplina, embora fosse preciso organizar as contribuições dispersas e estruturar o conhecimento de modo sistemático. Por volta de 1890, este contexto começou a chamar atenção de estatísticos e jovens cientistas como Edgeworth, Weldon e Pearson.
Weldon e Pearson A expressão de correlação foi modificada pelo professor de Zoologia em Cambridge Walter Frank Raphael Weldon (1860 – 1906), que incorporou o sinal positivo e o sinal negativo a partir da análise das dimensões de 22 pares de órgãos de várias espécies de camarões. Entretanto, a atual fórmula do coeficiente de correlação foi determinada em 1896 por Karl Pearson (1857 – 1936). Em Mathematical Contributions to the Theory of Evolution, Pearson publicou entre 1893 e 1912 suas contribuições para a análise de regressão, o coeficiente de correlação e o teste qui—quadrado de significância estatística. Especialmente, o coeficiente de correlação produto—momento de Pearson com foi desenvolvido com base em um conjunto de dados sobre estatura de pais e filhos (inicialmente coletados por Galton), tornando—se a primeira medida de força de associação em estatística.
Edgeworth Em 1892, Francis Ysidro Edgeworth (1845 – 1926) publicou parte do seu trabalho sobre correlação em Philosophical Magazine com base nas contribuições prévias de Galton. Nos artigos Correlated Averages e The Law of Error and Correlated Averages, Edgeworth introduziu o termo coeficiente de correlação, forneceu a primeira análise matemática de correlação e mostrou sua relação com a distribuição multivariada normal. Entre 1893 e 1895, Edgeworth publicou a continuação do seu trabalho sobre correlação na Philosophical Magazine e na Journal of the Royal Statistcal Society. Por exemplo, o resumo de Recent Contributions to thew Theory of Statistics, que culminou em quatro importantes trabalhos Statistics on Unprogressive Communities, The Assymetrical Probability Curve, The Compound Law of Error e Supplementary Notes on Statistics.
Correlação linear Os diferentes setores da sociedade utilizam amostras de populações , em vez de populações de dados , para auxiliar nas análises dos objetivos das suas áreas de conhecimento. Isto ocorre porque um conjunto reduzido de dados () torna o processo mais econômico e mais rápido do ponto de vista matemático. Isto deve–se aos erros de arredondamentos dos cálculos que são feitos em estatística, considerando que uma grande quantidade de dados envolve mais cálculos que uma pequena quantidade de dados.
Correlação populacional A correlação populacional trata da medida da direção e do grau com que as variáveis e se associam linearmente em uma população. O coeficiente de correlação populacional entre duas variáveis e com valores esperados e e desvios padrão e é definido como:
em que é o operador do valor esperado, é a covariância e é uma notação alternativa para coeficiente de correlação.
O coeficiente de correlação é simétrico: .
O coeficiente de correlação de Pearson é +1 no caso de uma relação linear (correlação) direta perfeita (crescente), -1 no caso de uma relação linear (anticorrelação) decrescente perfeita (inversa) e qualquer valor no intervalo aberto (-1, 1) nos outros casos indicando o grau de dependência linear entre as variáveis.Dowdy, S. and Wearden, S. (1983). "Statistics for Research", Wiley. ISBN 0-471-08602-9 pp 230 É um corolário da desigualdade de Cauchy–Schwarz, em que a correlação não pode exceder 1 em valor absoluto. Quanto mais próximo de 0, mais fraca a correlação entre as variáveis (mais próximas de não correlacionados). Quando mais próximo de -1 ou +1, mais forte a correlação entre as variáveis.
Se as variáveis forem independentes, o coeficiente de correlação de Pearson é 0. Entretanto, o contrário não é verdadeiro porque o coeficiente de correlação detecta apenas dependências lineares entre duas variáveis. Por exemplo, suponha–se que a variável aleatória é simetricamente distribuída em torno de 0 e que a variável aleatória . Então, é completamente determinada por , de modo que e são perfeitamente dependentes, mas a correlação entre elas é 0. Em outras palavras, as variáveis não são correlacionadas. Entretanto, no caso especial em que e são conjuntamente normais, não correlação é equivalente à independência.
Correlação amostral
Coeficiente de correlação de Pearson
A correlação amostral trata da medida da direção e do grau com que as variáveis e se associam linearmente em uma amostra. Karl Pearson desenvolveu o coeficiente amostral a partir de uma ideia semelhante, porém ligeiramente diferente da de Francis Galton. Então, o coeficiente amostral pode ser chamado de coeficiente produto–momento de Pearson, coeficiente de correlação de Pearson ou simplesmente coeficiente de correlação, que é a medida mais conhecida de dependência entre duas variáveis quantitativa.
Para uma série de medições de e , e para , o coeficiente de correlação da amostra pode ser usado para estimar o coeficiente de correlação de Pearson da população entre e . Então, o coeficiente de correlação da amostra é escrito como:
,
em que e são as médias amostrais de e .
O coeficiente de correlação de Pearson é definido apenas se os desvios padrão e forem finitos e diferentes de zero. Isto também pode ser escrito como:
Se e são resultados de medições que contêm erros de medições, os limites realistas no coeficiente de correlação não são -1 para +1, mas um intervalo menor.Lopez-Paz D. and Hennig P. and Schölkopf B. (2013). "The Randomized Dependence Coefficient", "Conference on Neural Information Processing Systems" Reprint
No caso de um modelo linear com uma única variável independente, o coeficiente de determinação é o quadrado do coeficiente de correlação de Pearson .
Propriedades de para variáveis e
: relação linear perfeita e positiva : inexistência linear : relação linear perfeita e negativa : relação linear positiva : relação linear negativa Se os valores das variáveis e são convertidos para uma escala diferente, o valor de não é alterado O valor de não é afetado pela escolha das variáveis ou Permutando e , o valor de não é alterado Mede direção e o grau (intensidade) com que as variáveis e as quais se associam linearmente Não é útil para casos não-lineares
Interpretação geométrica As duas séries de valores e podem ser consideradas vetores em um espaço de dimensão . Com a substituição por vetores centrados nas médias, têm-se e .
O cosseno do ângulo entre os vetores e , usando a norma euclidiana e o produto escalar normalizado, é dado pela fórmula:
,
Portanto, , em que está sempre -1 e 1.
O coeficiente de correlação é o cosseno do ângulo entre os dois vetores centrados: Se , então e os dois vetores são colineares (paralelos); Se , então e os dois vetores são ortogonais; Se , então e os dois vetores são colineares, mas em direções opostas. Mais genericamente, , em que é a função inversa do cosseno. representa, do ponto de vista geométrico, a intensidade da correlação entre os dois vetores aleatórios e , o que não pode ser medido em um teste de significância.
Mais genericamente, , em que é o inverso da função cosseno. Do ponto de vista geométrico, não se fala em correlação linear. O coeficiente de correlação sempre tem um significado, independentemente do valor entre -1 e 1.
Correlação não linear Coeficiente de correlação (ETA) O coeficiente de correlação (ETA) ou razão de correlação mede a intensidade de associação entre variável dependente e independente para casos não–lineares. Isto é, trata a relação de uma variável quantitativa e outra variável categórica ou nominal . Expressa–se em percentagem. Assume valores entre 0 e 1.
O coeficiente de correlação é dado pela expressão matemática:
Onde, é uma função. Ou seja, .
Correlação de postos de Spearman A correlação de postos de Spearman é utilizada para a relação entre dados não–lineares. Quando os dados de uma amostra são ordenados de forma crescente, obtém–se uma condição de ordem para que cada elemento ordenado seja um posto.
A correlação de postos de Spearman é dada pela expressão matemática:
,
em que , cm que e variando de 1 a , sendo a quantidade de elementos da amostra.
Correlação de postos de Kendall