Em topologia, um subconjunto S de um espaço topológico X diz-se denso em X, se o fecho de S é igual a X, isto é, todo ponto de X é um ponto limite de S, ou equivalentemente, S é denso em X se qualquer vizinhança de qualquer ponto de X contiver um elemento de S.
Definição
Seja um espaço métrico, um subconjunto de . Se a topologia de é induzida pela métrica, o fecho de é definido pela união de todos os seus pontos limites [Principles of Mathematical Analysis, Walter Rudin, McGrall-Hill Inc., 1964]
e é denso em se .
Para um espaço topológico X qualquer, o fecho de S pode ser definido como o menor conjunto fechado tal que , e um conjunto S é denso em X se não existe um subconjunto C próprio fechado de X tal que .
Propriedades
Todo conjunto aberto contém um subconjunto enumerável denso em .
Densidade é uma propriedade transitiva, de forma que dados conjuntos A, B e C, com A denso em B e B denso em C, então A é denso em C.
Exemplos Qualquer espaço topológico é um subconjunto denso de si próprio. (0,1) é denso em [0,1] e são ambos densos em , pois entre dois reais quaisquer, sempre existem, pelo menos, um racional e um irracional, do que podemos concluir que existe uma infinidade de racionais e outra de irracionais entre dois reais quaisquer.
Bibliografia
Categoria:Topologia (matemática)