Em matemática, um polinômio de Bernstein é um polinômio da forma:
O conjunto forma uma base para os polinômios de grau até n. Isto é, se é um polinômio de grau menor ou igual a n, então pode ser escrito na forma:
Estes polinômios foram estudados por Sergei Natanovich Bernstein e utilizados para dar uma prova construtiva do teorema de Stone-Weierstrass.
Exemplo thumb|500px|Gráfico dos polinômios de Berstein de grau 3
No caso dos polinômios de grau a base é composta de:
Todo polinômio de grau 3 pode ser escrito nesta base como:
Propriedades fundamentais Estes polinômios possuem propriedades importantes:
Partição da unidade: ,
Não-negatividade no intervalo de 0 a 1: ,
Relação de recorrência: .
Simetria:
Produto:
Derivada: ficando bem convencionado que
Representação em grau superior:
Pontos de máximo: assume valor máximo no intervalo em . Este máximo é local se .
A segunda destas propriedades é óbvia. Para demonstrar a primeira, escreva:
A terceira pode ser provada simplesmente substituindo a definição e simplificando os binômios usando a fórmula do triângulo de Pascal. As demais também são mostradas por simples verificação.
Representação de
Para obter uma representação de como polinômio de Bernstein, escreva:
Agora diferencie em relação a e multiplique por u/n para obter:
se fizermos e , temos:
Se tivéssemos diferenciado duas vezes em relação a u, teríamos tido:
e teríamos obtido:
Ou ainda, poderiamos expandir o argumento de forma a obter para :
Polinômio de Bernstein associado a uma função Seja , o polinômio de Bernstein de grau n associado a é dado por:
Se for uma função contínua, então converge uniformemente para quando n tende a infinito. Este fato é provado em teorema de Stone-Weierstrass.
Ver também Interpolação polinomial Binómio de Newton Teorema de Stone-Weierstrass
Bernstein Categoria:Análise matemática