Em matemática e física, o laplaciano ou operador de Laplace (ou ainda operador de Laplace-Beltrami), denotado por ou , sendo o operador nabla, é um operador diferencial de segunda ordem. O laplaciano, nome dado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, aparece naturalmente em diversas equações diferenciais parciais que modelam problemas físicos, tais como potencial elétrico e gravitacional, propagação de ondas, condução de calor e fluidos, e também fazendo parte das equações de Poisson para eletrostática e da equação de Schrödinger independente do tempo.
Definição do laplaciano escalar O operador Laplaciano no espaço euclidiano n-dimensional é definido como o divergente do gradiente:
Equivalentemente, o laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:
Seja , assim, o Laplaciano é definido como:
Significado físico Através de um desenvolvimento em série de Taylor em torno de um ponto , demonstra-se que o laplaciano nesse ponto é proporcional à diferença entre o valor médio de do campo no elemento de volume em torno do ponto e o valor do campo em . Logo, é possível interpretar imediatamente as equações que contenham o operador laplaciano. Um exemplo particularmente importante é o da equação de Laplace que governa o potencial eletrostático no vazio:
Essa equação diz que o valor médio do potencial em torno de um ponto é igual ao valor do potencial no próprio ponto .
Laplaciano escalar em R² O caso particular em , onde as componentes são denotadas por x e y, temos:
Em coordenadas polares , assume a forma:
Laplaciano escalar em R³ O caso particular em , onde as componentes são denotadas por x, y e z, temos:
Em coordenadas esféricas , assume a forma:
Em coordenadas cilíndricas , assume a forma:
Definição do laplaciano vetorial Seja , o Laplaciano é denotado por e é definido como a aplicação do laplaciano escalar em cada uma das componentes de :
Laplaciano vetorial em R³ Coordenadas cartesianas Em , vale a igualdade:
O (importante) caso particular em que , vale:
ou seja, o laplaciano é negativo do rotacional do rotacional.
Coordenadas cilíndricas O sistema de coordenadas cilíndricas usual , , , em :
Coordenadas esféricas O sistema de coordenadas esféricas usual , , , em :
Propriedades O laplaciano tem as seguintes propriedades:
Resultados importantes Há os seguintes resultados importantes a respeito do laplaciano:
O rotacional do gradiente de um campo escalar é nulo.
Um campo vetorial cujo rotacional seja nulo pode ser associado a um campo escalar . Um exemplo é o campo eletrostático que se associa com o potencial eletrostático , e, dessa forma, convenciona: . A divergência do rotacional de um campo vetorial é nula.
Um campo vetorial cuja divergência seja nula pode ser associado a um campo vetorial . Um exemplo é o campo magnetostático que se associa com o potencial vetor , e, dessa forma, convenciona: . Um campo vetorial numa região do espaço pode ser completamente especificado através de sua divergência e do seu rotacional, e de um conjunto adequado de condições de fronteira. A condições de fronteira exigida é a especificação da componente normal no campo na fronteira da região.
Ver também Potencial newtoniano Gradiente Divergência Rotacional Cálculo vetorial
Ligações externas Roldao da Rocha Jr. E. Capelas de Oliveira e Jayme Vaz Jr.; O laplaciano: de Gauss a Beltrami até Hodge-de Rham (formato PostScript)
Categoria:Cálculo vetorial Categoria:Pierre-Simon Laplace Categoria:Operadores diferenciais