Em matemática, definem-se os conceitos de majorante/cota superior, minorante/cota inferior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Embora estes conceitos estejam todos relacionados, são bem diferentes.
Na análise real, estes conceitos adquirem relevância desde a própria construção dos números reais e estão intimamente ligados à ideia de limite.
Definições Seja , um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado pela relação .
Um elemento é dito majorante, limite superior ou cota superior de se:
Um elemento é dito minorante, limite inferior ou cota inferior de se:
Um elemento é dito supremo de se for o menor dos majorantes: e
Um elemento é dito ínfimo de se for o maior dos minorantes: e
Um majorante é dito máximo de se . Um minorante é dito mínimo de se . Se um conjunto tem majorante, diz-se que está limitado superiormente. Se um conjunto tem minorante, diz-se que está limitado inferiormente.
Notação Se um conjunto possui máximo, ele é denotado:
Se um conjunto possui mínimo, ele é denotado:
Se um conjunto possui supremo, ele é denotado:
Se um conjunto possui ínfimo, ele é denotado:
Se é uma função de um conjunto em um conjunto parcialmente ordenado , então usa-se a notação: e suas análogas.
Completude Seja (A, ≤) um conjunto parcialmente ordenado. A é dito completo se para todo conjunto B⊆A, B≠∅, se B tem majorante, então tem supremo.
Este conceito não deve ser confundido com a completude lógica nem com a completude de uma teoria axiomática, pois são conceitos diferentes.
Exemplos O intervalo fechado possui um elemento mínimo e máximo . O intervalo semi fechado possui um elemento mínimo , todo é majorante do conjunto e seu supremo nos reais é o que não pertence ao conjunto e, portanto, esse conjunto não tem máximo.
Esse conjunto possui um supremo real, e infinitas cotas superiores racionais. No entanto, não possui supremo nos números racionais. Portanto, o conjunto dos números racionais não é completo. Por outro lado, o conjunto dos números reais é completo. , para um conjunto qualquer considerando a ordem parcial ampla inclusão, Esse conjunto tem mínimo e máximo , segundo a ordem . Todo tem supremo e ínfimo em , segundo a ordem .
Propriedades , contanto que ambos existam. Propriedades de monotonicidade: , contanto que ambos existam. , contanto que ambos existam.
Propriedades algébricas:
Se e são conjuntos limitados e então
e .
Se é um conjunto limitado e então
e
onde (Ver Elon Lages Lima).
No conjunto de números reais
Todo conjunto não-vazio de números reais limitado superiormente possui um supremo. Todo conjunto não-vazio de números reais limitado inferiormente possui um ínfimo.
Considerando os reais estendidos, , podemos considerar: O supremo de um conjunto não limitado superiormente é definido como . O ínfimo de um conjunto não limitado inferiormente é definido como . Na notação de supremo, temos que uma função é limitada se e somente se: , ou, considerando os reais estendidos,
Supremo e ínfimo do conjunto vazio Ainda considerando os números reais estendidos, por completeza e a fim de manter a monotonicidade, definem-se o supremo e o ínfimo do conjunto vazio (quando este é visto como um subconjunto dos reais):
Lista de Referências
Categoria:Análise matemática