Em matemática, os espaços , são espaços vetoriais normados cujos vetores são sequências de números pertencentes a um corpo onde ou . Espaços são exemplos de espaços vetoriais de dimensão infinita. Definições

Uma sequência é dita pertencer ao espaço se for p-somável, ou seja: .

Uma sequência é dita pertencer ao espaço se for limitada, ou seja: .

A desigualdade de Minkowski garante que estes espaços são lineares e que a norma está bem definida, satisfazendo seus axiomas.

A estrutura de espaço vetorial é gerada definindo a soma de elementos e a multiplicação por escalar da seguinte maneira:

.

Propriedades dos espaços

Convergência Todas as sequências pertencentes a , convergem a zero, o que não é necessariamente verdade para sequências em , por exemplo, a sequência constante é limitada mas , logo .

Espaços de Banach e Hilbert Espaços são espaços de Banach para qualquer e o único espaço que é um espaço de Hilbert é , que é dotado do produto interno .

Separabilidade Para , os espaços são separáveis, mas não é separável.

Inclusão dos espaços Os espaços crescem à medida que cresce, isto é, se , então .

Espaços

O espaço das sequências convergentes é denotado por , e, como toda sequência convergente é limitada, é um subespaço linear de e além disso temos que é um subespaço fechado de e portanto um espaço de Banach.

O espaço é o espaço das sequências convergentes a zero, é facil notar que é um subespaço de e portanto também é um subespaço linear de . Também é um subespaço fechado e portanto de Banach

é o subespaço linear de formado pelas sequências eventualmente nulas, ou seja, para , existe tal que se . não é um subespaço fechado com relação a norma , pois para a sequência é de Cauchy mas converge para que não pertence à . Dualidade Se , então o espaço dual topológico de é isometricamente isomorfo a onde é o conjugado de Lebesgue de , ou seja . O isomorfismo definido por

.

Pela desigualdade de Hölder temos que , e definido a norma em por

.

Temos que ,e portanto, é um operador limitado e

logo é linear.

Seja , então os funcionais pertencentes ao espaço dual são da forma: , para algum associado a .

Ver também Espaço Lp

Bibliografia

Categoria:Análise real Categoria:Análise funcional

ru:Пространство Lp