right|thumb|upright=1.5|Representação visual de um atrator estranho. Outra visualização do mesmo atrator 3D é este vídeo. O código capaz de renderizar isso está disponível.
No campo matemático dos sistemas dinâmicos, um atrator é um conjunto de estados para o qual um sistema tende a evoluir, para uma ampla variedade de condições iniciais do sistema. Valores do sistema que se aproximam o suficiente dos valores do atrator permanecem próximos mesmo quando ligeiramente perturbados.
Em sistemas de dimensão finita, a variável em evolução pode ser representada algebricamente como um vetor n-dimensional. O atrator é uma região no espaço n-dimensional. Em sistemas físicos, as n dimensões podem ser, por exemplo, duas ou três coordenadas posicionais para cada uma de uma ou mais entidades físicas; em sistemas econômicos, podem ser variáveis separadas, como a taxa de inflação e a taxa de desemprego.
Se a variável em evolução é bidimensional ou tridimensional, o atrator do processo dinâmico pode ser representado geometricamente em duas ou três dimensões (como, por exemplo, no caso tridimensional retratado à direita). Um atrator pode ser um ponto, um conjunto finito de pontos, uma curva, uma variedade, ou até mesmo um conjunto complicado com uma estrutura fractal conhecida como atrator estranho (veja atrator estranho abaixo). Se a variável é um escalar, o atrator é um subconjunto da reta dos números reais. Descrever os atratores de sistemas dinâmicos caóticos tem sido uma das conquistas da teoria do caos.
Uma trajetória do sistema dinâmico no atrator não precisa satisfazer quaisquer restrições especiais, exceto permanecer no atrator, para frente no tempo. A trajetória pode ser periódica ou caótica. Se um conjunto de pontos é periódico ou caótico, mas o fluxo na vizinhança é para longe do conjunto, o conjunto não é um atrator, mas é chamado de repulsor (ou repulsor).
Motivação dos atratores Um sistema dinâmico é geralmente descrito por uma ou mais equações diferenciais ou de diferenças. As equações de um dado sistema dinâmico especificam seu comportamento em qualquer curto período de tempo. Para determinar o comportamento do sistema por um período mais longo, é frequentemente necessário integrar as equações, seja por meios analíticos ou através de iteração, muitas vezes com o auxílio de computadores.
Sistemas dinâmicos no mundo físico tendem a surgir de sistemas dissipativos: se não fosse por alguma força motriz, o movimento cessaria. (A dissipação pode vir de fricção interna, perdas termodinâmicas ou perda de material, entre muitas causas.) A dissipação e a força motriz tendem a se equilibrar, eliminando transientes iniciais e estabilizando o sistema em seu comportamento típico. O subconjunto do espaço de fases do sistema dinâmico correspondente ao comportamento típico é o atrator, também conhecido como seção atratora ou atrator.
Conjuntos invariantes e conjuntos limites são semelhantes ao conceito de atrator. Um conjunto invariante é um conjunto que evolui para si mesmo sob a dinâmica. Atratores podem conter conjuntos invariantes. Um conjunto limite é um conjunto de pontos tal que existe algum estado inicial que acaba arbitrariamente próximo do conjunto limite (ou seja, de cada ponto do conjunto) à medida que o tempo vai para o infinito. Atratores são conjuntos limites, mas nem todos os conjuntos limites são atratores: é possível que alguns pontos de um sistema convirjam para um conjunto limite, mas pontos diferentes, quando ligeiramente perturbados para fora do conjunto limite, podem ser desviados e nunca retornar à vizinhança do conjunto limite.
Por exemplo, o pêndulo amortecido tem dois pontos invariantes: o ponto de altura mínima e o ponto de altura máxima. O ponto também é um conjunto limite, pois as trajetórias convergem para ele; o ponto não é um conjunto limite. Devido à dissipação causada pela resistência do ar, o ponto também é um atrator. Se não houvesse dissipação, não seria um atrator. Aristóteles acreditava que os objetos se moviam apenas enquanto eram empurrados, o que é uma formulação inicial de um atrator dissipativo.
Alguns atratores são conhecidos por serem caóticos (veja atrator estranho), caso em que a evolução de quaisquer dois pontos distintos do atrator resulta em trajetórias exponencialmente divergentes, o que complica a previsão quando até o menor ruído está presente no sistema.
Definição matemática Seja o tempo e seja uma função que especifica a dinâmica do sistema. Isto é, se é um ponto em um espaço de fases de n dimensões, representando o estado inicial do sistema, então e, para um valor positivo de , é o resultado da evolução deste estado após unidades de tempo. Por exemplo, se o sistema descreve a evolução de uma partícula livre em uma dimensão, então o espaço de fases é o plano com coordenadas , onde é a posição da partícula, é sua velocidade, , e a evolução é dada por
Um atrator é um subconjunto do espaço de fases caracterizado pelas seguintes três condições: é invariante para frente sob : se é um elemento de , então também é, para todo . Existe uma vizinhança de , chamada de bacia de atração de e denotada , que consiste em todos os pontos que "entram" em no limite . Mais formalmente, é o conjunto de todos os pontos no espaço de fases com a seguinte propriedade: Para qualquer vizinhança aberta de , existe uma constante positiva tal que para todo real. Não há subconjunto próprio (não vazio) de com as duas primeiras propriedades.
Como a bacia de atração contém um conjunto aberto contendo , todo ponto suficientemente próximo de é atraído para . A definição de atrator usa uma métrica no espaço de fases, mas a noção resultante geralmente depende apenas da topologia do espaço de fases. No caso de , a norma euclidiana é tipicamente usada.
Muitas outras definições de atrator ocorrem na literatura. Por exemplo, alguns autores exigem que um atrator tenha medida positiva (impedindo que um ponto seja um atrator), outros relaxam o requisito de que seja uma vizinhança.
Tipos de atratores Atratores são porções ou subconjuntos do espaço de fases de um sistema dinâmico. Até a década de 1960, os atratores eram pensados como sendo subconjuntos geométricos simples do espaço de fases, como pontos, linhas, superfícies e regiões simples do espaço tridimensional. Atratores mais complexos que não podem ser categorizados como subconjuntos geométricos simples, como conjuntos topologicamente selvagens, eram conhecidos na época, mas eram considerados anomalias frágeis. Stephen Smale conseguiu mostrar que seu mapa ferradura era robusto e que seu atrator tinha a estrutura de um conjunto de Cantor.
Dois atratores simples são um ponto fixo e o ciclo limite. Atratores podem assumir muitas outras formas geométricas (subconjuntos do espaço de fases). Mas quando esses conjuntos (ou os movimentos dentro deles) não podem ser facilmente descritos como combinações simples (por exemplo, intersecção e união) de objetos geométricos fundamentais (por exemplo, linhas, superfícies, esferas, toróides, variedades), então o atrator é chamado de atrator estranho.
Ponto fixo right|thumb|Ponto fixo fracamente atrator para um número complexo evoluindo de acordo com um polinômio quadrático complexo. O espaço de fases é o plano horizontal complexo; o eixo vertical mede a frequência com que os pontos no plano complexo são visitados. O ponto no plano complexo diretamente abaixo da frequência de pico é o atrator de ponto fixo. Um ponto fixo de uma função ou transformação é um ponto que é mapeado para si mesmo pela função ou transformação. Se considerarmos a evolução de um sistema dinâmico como uma série de transformações, pode ou não haver um ponto que permaneça fixo sob cada transformação. O estado final para o qual um sistema dinâmico evolui corresponde a um ponto fixo atrator da função de evolução para esse sistema, como a posição central inferior de um pêndulo amortecido, a linha de água nivelada e plana de água balançando em um copo, ou o centro inferior de uma tigela contendo uma bola de gude rolando. Mas o(s) ponto(s) fixo(s) de um sistema dinâmico não é necessariamente um atrator do sistema. Por exemplo, se a tigela que contém uma bola de gude rolando fosse invertida e a bola fosse equilibrada no topo da tigela, o centro inferior (agora superior) da tigela é um estado fixo, mas não um atrator. Isso é equivalente à diferença entre equilíbrios estáveis e instáveis. No caso de uma bola de gude no topo de uma tigela invertida (uma colina), aquele ponto no topo da tigela (colina) é um ponto fixo (equilíbrio), mas não um atrator (equilíbrio instável).
Além disso, sistemas dinâmicos físicos com pelo menos um ponto fixo invariavelmente têm múltiplos pontos fixos e atratores devido à realidade da dinâmica no mundo físico, incluindo a dinâmica não linear do atrito estático, fricção, rugosidade superficial, deformação (tanto elástica quanto plástica), e até mesmo mecânica quântica. No caso de uma bola de gude no topo de uma tigela invertida, mesmo que a tigela pareça perfeitamente hemisférica, e a forma esférica da bola de gude, ambas são superfícies muito mais complexas quando examinadas ao microscópio, e suas formas mudam ou deformam durante o contato. Qualquer superfície física pode ser vista como tendo um terreno acidentado de múltiplos picos, vales, pontos de sela, cristas, ravinas e planícies. Há muitos pontos neste terreno de superfície (e no sistema dinâmico de uma bola de gude igualmente acidentada rolando neste terreno microscópico) que são considerados estacionários ou pontos fixos, alguns dos quais são categorizados como atratores.
Número finito de pontos
Em um sistema de tempo discreto, um atrator pode assumir a forma de um número finito de pontos que são visitados em sequência. Cada um desses pontos é chamado de ponto periódico. Isso é ilustrado pelo mapa logístico, que dependendo de seu valor de parâmetro específico pode ter um atrator consistindo em 1 ponto, 2 pontos, 2n pontos, 3 pontos, 3×2n pontos, 4 pontos, 5 pontos, ou qualquer número inteiro positivo de pontos.
Ciclo limite
Um ciclo limite é uma órbita periódica de um sistema dinâmico contínuo que é isolada. Diz respeito a um atrator cíclico. Exemplos incluem as oscilações de um pêndulo de relógio e os batimentos cardíacos em repouso. O ciclo limite de um pêndulo ideal não é um exemplo de atrator de ciclo limite porque suas órbitas não são isoladas: no espaço de fases do pêndulo ideal, perto de qualquer ponto de uma órbita periódica há outro ponto que pertence a uma órbita periódica diferente, então a primeira órbita não é atratora. Para um pêndulo físico com fricção, o estado de repouso será um atrator de ponto fixo. A diferença com o pêndulo de relógio é que ali, a energia é injetada pelo mecanismo de escapamento para manter o ciclo.
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Toro limite Pode haver mais de uma frequência na trajetória periódica do sistema através do estado de um ciclo limite. Por exemplo, em física, uma frequência pode ditar a taxa na qual um planeta orbita uma estrela enquanto uma segunda frequência descreve as oscilações na distância entre os dois corpos. Se duas dessas frequências formam uma fração irracional (ou seja, são incomensuráveis), a trajetória não é mais fechada, e o ciclo limite se torna um toro limite. Este tipo de atrator é chamado de -toro se houver frequências incomensuráveis. Por exemplo, aqui está um 2-toro:
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Uma série temporal correspondente a este atrator é uma série quasiperiódica: uma soma amostrada discretamente de funções periódicas (não necessariamente senoides) com frequências incomensuráveis. Tal série temporal não tem uma periodicidade estrita, mas seu espectro de potência ainda consiste apenas em linhas agudas.
Atrator estranho
thumb|200px|right|Um gráfico do atrator estranho de Lorenz para valores ρ = 28, σ = 10, β = 8/3