Notação bra-ket é uma notação padrão para descrever estados quânticos na teoria da mecânica quântica. Ela também é utilizada para denotar vetores e funcional linear abstratos na matemática pura. É assim chamada por ser o produto interno de dois estados denotados por um bracket, consistindo de uma parte esquerda, denominada bra, e uma parte direita, denominada ket. A notação foi criada por Paul Dirac, e por isso é também conhecida como notação de Dirac.PAM Dirac (1939). "A new notation for quantum mechanics". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 35 (3): 416–418. . Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. p. 134. ISBN 978-0-486-67766-8.

Mecânica quântica Em mecânica quântica e computação quântica, a notação bra–ket é usada ubíqua para denotar estados quânticos. A notação utiliza parênteses angulares, e , e uma barra vertical , para construir "bras" e "kets".

Um ket tem a forma . Matematicamente, denota um vetor, , num espaço vetorial abstrato (complexo) , e fisicamente representa um estado de algum sistema quântico.

Um bra tem a forma . Matematicamente, denota uma forma linear , i.e. um mapeamento linear que mapeia cada vetor em para um número no plano complexo . Permitir que o funcional linear atue num vetor é escrito como .

Assume que em existe um produto interno com primeiro argumento antilinear, o que torna um espaço com produto interno. Então, com este produto interno, cada vetor pode ser identificado com uma forma linear correspondente, colocando o vetor na primeira vaga anti-linear do produto interno Hermitiano: . A correspondência entre estas notações é então . A forma linear é um covetor para , e o conjunto de todos os covetores forma um subespaço do espaço vetorial dual , do espaço vetorial inicial . O propósito desta forma linear pode agora ser entendido em termos de fazer projeções no estado para determinar o quão linearmente dependentes são dois estados, etc.

Para o espaço vetorial , kets podem ser identificados com vetores coluna, e bras com vetores linha. Combinações de bras, kets e operadores lineares são interpretadas usando a multiplicação de matrizes. Se tem o produto interno Hermitiano padrão , sob esta identificação, a identificação de kets e bras e vice-versa fornecida pelo produto interno é através da tomada do conjugado Hermitiano (denotado ).

É comum suprimir o vetor ou a forma linear da notação bra–ket e usar apenas um rótulo dentro da tipografia para o bra ou ket. Por exemplo, o operador de spin em um espaço bidimensional de spinores tem autovalores com autoespinores . Na notação bra–ket, isto é tipicamente denotado como , e . Como acima, kets e bras com o mesmo rótulo são interpretados como kets e bras correspondentes entre si usando o produto interno. Em particular, quando também identificados com vetores linha e coluna, kets e bras com o mesmo rótulo são identificados com vetores coluna e linha conjugados Hermitianos.

A notação bra–ket foi estabelecida efetivamente em 1939 por Paul Dirac; Also see his standard text, The Principles of Quantum Mechanics, IV edition, Clarendon Press (1958), é, portanto, também conhecida como notação de Dirac, apesar de a notação ter um precursor no uso de por Hermann Grassmann para produtos internos quase 100 anos antes.Lecture 2 | Quantum Entanglements, Part 1 (Stanford), Leonard Susskind on complex numbers, complex conjugate, bra, ket. 2006-10-02.

Bras e kets Uso mais comum: mecânica quântica 300px|thumb|As componentes reais do vetor 3D e a projeção da base; semelhanças entre cálculo notação vetorial e notação de Dirac. Em mecânica quântica, o estado físico de um sistema é identificado como um raio unitário em um espaço de Hilbert separável complexo, ou, equivalentemente, por um ponto no espaço de Hilbert projetado de um sistema. Cada vetor no raio é chamado um "ket" e escrito como que deve ser lido como "psi ket".

O ket pode ser visualizado como um vetor coluna e (dada uma base para o espaço de Hilbert) escrito por extenso em componentes,

quando o espaço de Hilbert considerado possuir finitas dimensões. Em espaços de dimensão infinita, há infinitas componentes e o ket deve ser escrito em notação de função, precedido por um bra (veja abaixo). Por exemplo,

Todo ket possui um bra dual, escrito como Por exemplo, o bra correspondente ao acima deve ser um vetor linha, isto é,

Isto é um funcional linear contínuo de para os números complexos definido por:

para todo ket

onde denota o produto interno definido sobre o espaço de Hilbert. Aqui, uma vantagem da notação bra-ket torna-se clara: quando removemos os parênteses (como é comum em funcionais lineares) e fundimos junto com as barra, obtemos que é a notação comum para produto interno no espaço de Hilbert. Esta combinação de um bra com um ket para formar um número complexo é chamada bra-ket ou bracket.

Em mecânica quântica a expressão (matematicamente o coeficiente para a projeção de em ) é tipicamente interpretada como a amplitude de probabilidade para o estado para o colapso no estado .

Ver também

Espaço dual Estado quântico Espaço vetorial Produto interno Teorema da representação de Riesz

Bibliografia J. J. Sakurai, «Modern Quantum Mechanics (Revised Edition)», Addison Wesley; 1993 ISBN 0-201-53929-2

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