Em matemática, o teorema de Banach-Steinhaus, também conhecido como princípio da limitação uniforme é um importante resultado da análise funcional. O teorema foi originalmente publicado por Stefan Banach e Hugo Steinhaus em 1927.
Enunciado Seja um espaço de Banach e um espaço normado não necessariamente completo. Seja ainda uma família de operadores lineares limitados definidos de em . Defina o conjunto :
Então, se é de segunda categoria em então: e
Demonstrações O teorema em si surge primeiramente para funcionais lineares contínuos por H. Hahn em 1922, mas a demonstração clássica utiliza o teorema da categoria de Baire é devida a S. Banach e H. Steinhaus em 1927. Em 2011, o matemático A. Sokal apresentou uma demonstração sem fazer o uso do mesmo.
Demonstração Clássica (usando o Teorema de Baire) Escreva o conjunto como a seguinte reunião:
Como
e cada um dos operadores é contínuo, é fechado. Do fato de que é de segunda categoria em e pelo teorema da categoria de Baire, sabemos que pelo menos um dos possui interior não vazio.
Da linearidade dos operadores, e portanto, existe um e um tais que: , é bola de centro e raio . Como é convexo, pode-se considerar .
Escolha tal que e estime:
E o resultado segue.
Demonstração por A. Sokal (sem utilizar o Teorema de Baire) Primeiro, vejamos um resultado técnico:
Lema. Para qualquer operador linear entre espaços normados, qualquer e qualquer , têm-se
onde denota a bola aberta de centro e raio .
Demonstração do Lema. De fato, para qualquer , vale a seguinte desigualdade:
dado que , aplicando a desigualdade triangular segue.
Porém, para quaisquer . Ou seja:
Tomando a norma do supremo em ,
Terminando a demonstração do lema .
Demonstração do Teorema da Limitação Uniforme. Suponha por absurdo que , i.e., existe uma sequência tal que , para qualquer .
Pelo lema técnico garantido acima, existe tal que, para todo ,
Tal sequência é de Cauchy e por ser um espaço de Banach, existe um de modo que para todo .
Portanto,
para qualquer e qualquer .
O absurdo está em contrariar a hipótese de que . Logo, não pode ser o caso de . Exemplos e Aplicações
Exemplos Para explicitar a necessidade da hipótese de completude temos o exemplo abaixo:
Seja o espaço normado dos elementos com somente para num conjunto finito de índices. Defina por . Então para todo e para cada existe o limite , mas .
Aplicações Segue aplicação do teorema para estudo da continuidade de aplicações bilineares:
Corolário. Sejam Espaços de Banach. Se é uma aplicação bilinear separadamente contínua (ou seja, e são lineares e contínuas para cada e cada , respectivamente), então é contínua, ou seja, se e , então .
Banach-Steinhaus