Em matemática, sobretudo na análise funcional define-se operador projeção ortogonal, ou simplesmente, projetor ortogonal como um operador linear limitado em um espaço de Hilbert que satisfaz:
(P é idempotente)
(P é auto adjunta)
A projeção ortogonal, é uma projeção cuja Imagem e o núcleo são Ortogonais. Isto é, para todo e em ,
. De forma equivalente:
Uma projeção é ortogonal se e só se é auto adjunta. Usando a propriedade auto adjunta e idempotencia de P, para quaisquer e em temos que , e além disso
Onde é o produto interno associado com . Portanto, e são projeções ortogonais.
A outra direção, isto é, se é ortogonal então é auto adjunta segue de:
para todo e em
Portanto
Propriedades O operador definido como é chamado de complemento ortogonal de P e, como é fácil ver, também um projetor ortogonal com a seguinte propriedade adicional:
Uma projeção ortogonal é um operador limitado. Isso é porque para todo no espaço vetorial nós temos, por conta da desigualdade de Cauchy-Schwarz: Então
Bibliografia
Kreyzig, Erwin (1978), Introductory Functional Analysis with Applications, ISBN 0-471-50731-8, John Wiley & Sons, Inc.
Ver também Operador auto-adjunto
Categoria:Análise funcional