thumb|200px|Euclides

Na matemática, geometria euclidiana é a geometria, em duas e três dimensões, baseada nos postulados de Euclides de Alexandria.

História A geometria euclidiana teve sua origem com o grande matemático Euclides de Alexandria. Nascido aproximadamente em 330 a.C. na Síria, ele realizou seus estudos na cidade de Atenas onde frequentou a Academia de Platão. A pedido do rei, Ptolomeu I governante do Egito entre 323 a.C. à 283 a.C. foi convidado a estudar Matemática na academia de Alexandria também conhecida como “Museu”. Com o passar do tempo ganhou destaque pela forma que ele ensinava Geometria e Álgebra. Essas disciplinas já eram de conhecimento pelos matemáticos anteriores a Euclides, porém ele fez um estudo mais aprofundado dos conteúdos, os organizou de forma lógica e as condensou, instituindo a característica grega do Rigor Científico e criando uma das maiores obras primas da Matemática, denominada “Os Elementos”. Esta obra é constituída por treze livros que contemplam tópicos como aritmética, geometria e álgebra.

O texto de "Os elementos" foi a primeira discussão sistemática sobre a geometria e o primeiro texto a falar sobre teoria dos números. Foi também um dos livros mais influentes na história, tanto pelo seu método quanto pelo seu conteúdo matemático. O método consiste em assumir um pequeno conjunto de axiomas intuitivos e, então, provar várias outras proposições (teoremas) a partir desses axiomas. Muitos dos resultados de Euclides já haviam sido afirmados por matemáticos gregos anteriores, porém ele foi o primeiro a demonstrar como essas proposições poderiam ser reunidas juntas em um abrangente sistema dedutivo.

A teoria desenvolvida através deste livro foi uma das mais importantes da Matemática, ela foi adotada por muitos como base para estudar a Geometria. A partir do final do Século XIX para o inicio do Século XX foi instituída a disciplina de Geometria Euclidiana seguindo a axiomática instituída por Euclides que se distingue por apresentar um espaço que não se modifica em momento algum, revela uma estrita simetria, se uma relação for verdadeira para “a” e “b” tomadas nessa ordem também será para “b” e “a” nesta ordem. Essa teoria atravessou a Idade Média e o Renascimento como representação do conhecimento clássico, a partir da Idade Moderna o modelo euclidiano foi substituído por outras geometrias.

A base da geometria euclidiana: os axiomas e postulados A geometria euclidiana tem sua base em axiomas e postulados. Para Aristóteles, axiomas são verdades incontestáveis aplicadas a todas as ciências e os postulados eram verdades sobre um determinado tema (neste caso, a geometria) e foi assim também usado por Euclides. Ao todo, são dez proposições que utilizam os conceitos de ponto, intermediação e congruência. Toda geometria que satisfaz a todos eles é considerada euclidiana.

Os axiomas são: Axioma 1: Coisas que são iguais a uma mesma coisa, são iguais entre si. Axioma 2: Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são iguais. Axioma 3: Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais. Axioma 4: Coisas que coincidem uma com a outra, são iguais. Axioma 5: O todo é maior do que qualquer uma das suas partes.

Os axiomas não são passíveis de demonstração por serem evidentemente verdadeiros. Os postulados surgem com o desenvolvimento dos axiomas e, se provados verdadeiros, são considerados teoremas. 

Estes são os seguintes: Postulado 1: Dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une; Postulado 2: Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta; Postulado 3: Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se construir uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; Postulado 4: Todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes); Postulado 5: Se duas linhas intersectam uma terceira linha de tal forma que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem se intersectar neste lado se forem estendidas indefinidamente. (Postulado de Euclides ou Postulado das Paralelas)

Definições iniciais miniaturadaimagem|A congruência de triângulos é determinada ao especificar dois lados e o ângulo entre eles (SAS), dois ângulos e o lado entre eles (ASA), ou dois ângulos e um lado adjacente correspondente (AAS). Especificar dois lados e um ângulo adjacente (SSA), no entanto, pode resultar em dois triângulos distintos, a menos que o ângulo especificado seja um ângulo reto. Euclides fez algumas definições para que a geometria tivesse sentido e pudesse provar suas proposições, no total foram 23 definições: Ponto é aquilo de que nada é parte; Linha é comprimento sem largura; Extremidades de uma linha são pontos; Linha reta é a que está posta por igual com os pontos sobre si mesma; Superfície é aquilo que tem somente comprimento e largura; Os lados de uma superfície são linhas; Superfície plana é a que esta posta por igual com retas sobre si mesma; Ângulo plano é a inclinação, entre elas, de duas linhas no plano, que se tocam e não estão postas sobre uma reta; Quando as linhas que contêm o ângulo sejam retas, o ângulo é chamado de retilíneo; Quando uma reta, tendo sido alterada sobre uma reta, faça os ângulos adjacentes iguais, cada um dos ângulos é reto, e a reta que se alteou é chamada uma perpendicular àquela sobre a que se alteou; Ângulo obtuso é o maior do que um reto; Agudo, o menor que um reto; Fronteira é aquilo que é extremidade de alguma coisa. Figura é o que é contido por alguma ou algumas fronteiras; Círculo é uma figura plana contida por uma linha [ que é chamada circunferência ], em relação a qual todas as retas que a encontram [ até a circunferência do círculo ], a partir de um ponto dos postos no interior da figura, são iguais entre si; O ponto é chamado de centro do círculo; Diâmetro do círculo é alguma reta traçada através do centro, e terminando, em cada um dos lados, pela circunferência do círculo, e que corta o círculo em dois; Semicírculo é a figura contida tanto pelo diâmetro quanto pela circunferência cortada por ele. E centro do semicírculo é o mesmo do círculo. Figuras retilíneas são as contidas por retas, por um lado, triláteras, e por três, e, por outro lado, quadriláteras, as por quatro, enquanto multiláteras, as contidas por mais do que quatro retas; Das figuras triláteras, por um lado, triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais, e, por outro lado, isósceles, o que tem dois lados iguais, enquanto escaleno, o que tem três lados desiguais; Ainda das figuras trilateras, por um triângulo retângulo é o que tem um ângulo reto, e, por outro lado, obtusângulo, o que tem um ângulo obtuso, enquanto acutângulo, o que tem três ângulos agudos; Das figuras quadriláteras, por um lado, quadrado é aquela que é tanto equilátera quanto retangular, e, por outro lado, oblongo, a que, por um lado, é retangular, e, por outro lado, não é equilátera, enquanto losango, e que, por um lado, é equilátera, e, por outro lado, não é retangular, e romboide, a que tem tantos os lados opostos quantos os ângulos opostos iguais entre si, a qual não é equilátera nem retangular; e as quadriláteras, além dessas, sejam chamadas trapézios; Paralelas são retas que, estão no mesmo plano, e sendo prolongadas ilimitadamente em cada um dos lados, em nenhum se encontram.

A partir dessas definições, dos axiomas e postulados, Euclides fez várias demonstrações. Vejamos como ele demonstrou as seguintes proposições:

Construir um triângulo equilátero sobre uma reta limitada dada. (proposição 1)

“Seja a reta limitada dada AB. É preciso, então, sobre a reta AB construir um triângulo equilátero.

Fique descrito, por um lado, com o centro A, e por outro lado, com a distância AB, o circulo BCD, e, de novo, fique descrito, por um lado, com o centro B, e, por outro lado, com a distancia BA, o circulo ACE, e, a partir do ponto C, no qual os círculos se cortam, até os pontos A, B, fiquem ligadas as retas CA, CB.

E, como o ponto A é centro do circulo CDB, a AC é igual à AB; de novo, como o ponto B é centro do circulo CAE, a BC é igual à BA. Mas a CA foi também provada igual à AB; portanto, cada uma das CA, CB é igual à AB. Mais as coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si; portanto, também a CA é igual à CB, portanto, as três CA, AB, BC são iguais entre si.

Portanto, o triângulo ABC é equilátero, e foi construído sobre a reta limitada dada AB.”

Com o auxílio do 1º e 3º postulados, mais as definições 15 e 20 ele provou a proposição acima. Pelo ponto dado, traçar uma linha reta paralela à reta dada. (proposição 31)

“Sejam, por um lado, o ponto A, e, por outro lado, a reta dada BC; é preciso, então, pelo ponto A, traçar uma linha reta paralela à reta dada BC.

Fique tomado, sobre a BC, o ponto D, encontrado ao acaso, e fique ligada a Ad; e fique construído, sobre a reta DA e no ponto A sobre ela, o sob DAE igual ao ângulo sob ADC; e fique prolongada a reta AF sobre uma reta com a EA.

E, como a reta AD, caindo sobre as duas retas BC, EF, fez os ângulos sob EAD, ADC, alternos, iguais entre si, portanto, a EAF é paralela à BC.

Portanto, pelo ponto dado A, foi traçada a linha reta EAF paralela à reta dada BC; o que era preciso fazer.”

Com o auxílio dos postulados 1 e 2 e também usando as proposições 23 e 24 ele provou esta proposição.

Cortar em duas a reta limitada dada. ( proposição 10)

Seja a reta dada AB; é preciso, então, cortar a reta limitada AB em duas.

Fique construído sobre ela o triângulo equilátero ABC, e fique cortado o ângulo sob ACB em dois pela reta CD; digo que a reta AB foi cortada em duas no ponto D.

Pois, como a AC é igual à CB, e a CD é comum, então, as duas AC, CD são iguais às duas BC, CD, cada uma a cada uma; e o ângulo sob ACD é igual ao ângulo sob BCD; portanto, a base AD é igual à base BD.

Portanto, a reta limitada dada AB foi cortada em duas no D; o que era preciso fazer.

Com o auxílio da definição 20 e também usando as proposições 1, 4 e 9 ele provou esta proposição. As paralelas à mesma reta são paralelas entre si. ( proposição 30)

Seja cada uma das AB, CD paralelas à EF; digo que também a AB é paralela à CD. Caia, pois, a reta GK sobre elas. E, como a reta GK caiu sobre as retas paralelas AB, EF, portanto, sob AGK é igual ao sob GHF. De novo,como a reta GK caiu sobre as paralelas EF, CD, o sob GHF é igual ao sob GKD. Mais foi provado também o sob AGK igual ao sob GHF. Portanto, também o sob AGK é igual ao sob GKD; e são alternos. Portanto, a AB é paralela à CD.

Portanto, as paralelas à mesma reta são paralelas entre si; o que era preciso provar.

Com o auxílio das proposições 27 e 29 a proposição acima foi provada. Até os dias atuais é utilizado essas ferramentas para resolver problemas de geometria euclidiana.

Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sobre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sobre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto. (Proposição 47)

Seja um triângulo retângulo ABC, cujo ângulo BÂC é reto. Nos segmentos AB, BC e AC construir os quadrados ABFG, BDEC e ACHI, respectivamente (proposição 46). Do ponto A, trace uma paralela AL ao segmento BD (proposição 31). Trace os segmentos FC e AD. Por serem retos, os ângulos ABF e CBD são congruentes, junte a eles o ângulo ABC, então os ângulos CBF e ABD são congruentes (axioma 2). Pela proposição 4, os triângulos CBF e ABD são congruentes, pelo critério lado, ângulo e lado. Por estar na mesma base BD e entre as mesmas paralelas BD e AL, o paralelogramo BL possui o dobro da área do triângulo ABD (proposição 41). Por estar na mesma base FB e entre as mesmas paralelas FB e GC, o quadrado ABFG possui o dobro da área do triângulo CBF (proposição 41). Logo, pelo axioma 6, o quadrado ABFG possui a mesma área que o paralelogramo BL. Seguindo o mesmo raciocínio, traçando o segmento AE e HB, o quadrado ACHI possui a mesma área do paralelogramo CL.