+ Fatoriais selecionados; valores em notação científica são arredondados 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 50 70 100 450 10 Na matemática, o de um número natural , denotado por , é o produto de todos os naturais menores ou iguais a . O fatorial de também é igual ao produto de e o fatorial de seu antecessor:
Por exemplo,
O valor de 0! é 1, conforme a convenção para um produto vazio.
Fatoriais foram descobertos em diversas culturas antigas, notavelmente na matemática indiana, nas obras canônicas da literatura de Jain, e por míticos judeus no livro Talmude Sêfer Yetzirá. A operação fatorial é encontrada em diversas áreas da matemática, notavelmente na combinatória, onde seu uso mais básico é contar as diferentes sequências possíveis — as permutações — de distintos objetos: existem . Na análise matemática, fatoriais são usados nas série de potências para a função exponencial e outras funções. Eles também possuem aplicações na álgebra, teoria dos números, teoria das probabilidades e ciência da computação.
Muita da matemática das funções fatoriais começou a ser desenvolvida no final do século XVIII e início do XIX. A aproximação de Stirling gera uma aproximação precisa para fatoriais de números grandes, mostrando que ele cresce mais rápido que o crescimento exponencial. A fórmula de Legendre descreve os exponentes de números primos numa decomposição em fatores primos dos fatoriais, e pode ser utilizada para contar os zeros à direita dos fatoriais. Daniel Bernoulli e Leonhard Euler interpolaram a função fatorial para uma função contínua de números complexos, exceto nos inteiros negativos, chamada de função gama (deslocada).
Várias outras funções e sequências numéricas importantes estão intimamente relacionadas aos fatoriais, incluindo os coeficientes binomiais, duplos fatoriais, primoriais e subfatoriais. Implementações da função fatorial são comumente usadas como exemplo de diferentes estilos de programação de computadores e estão incluídas em calculadoras científicas e bibliotecas de software de computação científica. Embora calcular diretamente fatoriais grandes usando a fórmula do produto ou recorrência não seja eficiente, algoritmos mais rápidos são conhecidos, combinando, num fator constante, o tempo para algoritmos de multiplicação rápidos para números com o mesmo número de dígitos.
Definição
A função fatorial é normalmente definida por:
Por exemplo, . Como o fatorial de um número é uma multiplicação de 1 até , , pode ser definido pelo produto de com o fatorial de seu antecessor. Logo, . De forma geral:
que pode ser reescrito da seguinte forma:
Portanto:
Esta definição implica em particular que , pois
A função fatorial também pode ser definida (inclusive para não-inteiros) através da função gama:
A sequência dos fatoriais para n = 0, 1, 2,... começa com: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, , , , ...
Aplicações Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial. Veja também binômio de Newton.
Os fatoriais também aparecem em cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que expressa a função f(x) como uma série de série de potências em x. A razão principal é que o n derivativo de xn é n!. Os fatoriais também são usados extensamente na teoria da probabilidade.
Os fatoriais são também frequentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, em ciência da computação, porque satisfazem as seguintes relações recursivas: (se n ≥ 1): n! = n (n − 1)!
Como calcular fatoriais O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicação repetida se n não for grande demais. É isto que as calculadoras fazem. O maior fatorial, que a maioria das calculadoras suportam é 69!, porque 70! > 10100.
Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling:
Esta é uma versão simplificada que pode ser provada usando a matemática básica do ensino secundário; a ferramenta essencial é a indução matemática. Esta é aqui apresentada na forma de um exercício:
Logaritmo de fatorial O logaritmo de um fatorial pode ser usado para calcular o número de dígitos que a base de um fatorial irá ocupar. ln(n!) pode ser facilmente calculado da seguinte forma:
Note que esta função, demonstrada graficamente, é quase linear para valores baixos; mas o fator cresce de maneira arbitrária, embora vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico de seus primeiros 20 mil valores:
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Uma boa aproximação para ln(n!) é fazer o logaritmo da fórmula de Stirling.
Generalidades A função gama similar
A função gama Γ(z) é definida para todos os números complexos z exceto os inteiros não positivos (z = 0, −1, −2, −3, ...). Relaciona-se aos fatoriais pelo fato de que satisfaz um relacionamento recursivo similar àquele da função fatorial:
Junto com a definição Γ(1) = 1 isto gera a equação
Devido a este relacionamento, a função gama é frequentemente tida como uma generalização da função fatorial para o domínio dos números complexos. Isso é justificado pelas seguintes razões:
Significado compartilhado — a definição canônica da função factorial é o relacionamento recursivo mencionado, compartilhado por ambos. Unicidade — a função gama é a única função que satisfaz o relacionamento recursivo mencionado para o domínio dos números complexos e é holomórfica e cuja restrição ao eixo positivo real é convexa no log. Ou seja, é a única função que poderia ser uma generalização da função fatorial. Contexto — a função gama é geralmente usada num contexto similar ao dos factoriais (mas, é claro, onde um domínio mais geral for de interesse).
Multifactoriais Uma notação relacionada comum é o uso de múltiplos pontos de exclamação para simbolizar um multifactorial, o produto de inteiros em passos de dois (n!!), três (n!!!), ou mais.
n!! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por
Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A sequência de factoriais duplos para n = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...
Algumas identidades envolvendo factoriais duplos são:
Deve-se ser cuidadoso para não interpretar n!! como o factorial de n!, que deveria ser escrito (n!)! e é um número muito maior (para n>2).
O factorial duplo é a variante mais comumente usada, mas pode-se definir o factorial triplo do mesmo modo (n!!!) e assim por diante. Em geral, o k-ésimo factorial, notado por n!(k), é definido recursivamente como
Hiperfactoriais Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por
Para n = 1, 2, 3, 4,... os valores de H(n) são 1, 4, 108, 27648,...
A função hiperfactorial é similar à factorial, mas produz números maiores. A taxa de crescimento desta função, contudo, não é muito maior que um factorial regular.
Superfactoriais Neil Sloane e Simon Plouffe definiram o superfactorial em 1995 como o produto dos primeiros n fatoriais. Assim, o superfatorial de 4 é
No geral,
A sequência de superfatoriais começa (de n=0) como: 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ...
Esta ideia pode ser facilmente estendida para superduperfatorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando com n=0), assim 1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... e aí em diante, recursivamente para todos os fatoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produto dos primeiros n (m-1)-factoriais, i.e.
onde para e .
Hiperfatoriais (definição alternativa) Clifford Pickover, no seu livro Keys to Infinity, de 1995, define o superfactorial de n, escrito comodidade n$ (o $ deveria, na verdade, ser um sinal de fatorial ! com um S sobrepusto) como
onde a notação científica (4) denota o operador hyper4, ou usando a notação da seta de Knuth,
Esta sequência de superfatoriais começa quando se usa:
Fatoração prima de fatoriais A potência de p que ocorre na fatoração prima de n! é
Esta fórmula permite que fatoriais grandes sejam fatorados eficientemente.
O Teorema de Wilson diz que (p-1)! + 1 é um múltiplo de p se, e somente se, p for um número primo.
Algoritmo Um exemplo clássico do cálculo de fatorial na linguagem de programação C/Java
Recursivo int fatorial (int numero) { return numero == 0 ? 1 : numero * fatorial(numero - 1); }
Iterativo int fatorial (int numero) { int resultado = numero; if (numero == 0) resultado++; while (numero > 1) resultado *= --numero; return resultado; } Simplificado
float fatorial(int numero) {
int resultado = 1;
for (int i = 1; i < numero; i++) {
resultado = resultado * i;
return resultado;
Ver também Função digama Função gama Fórmula de Stirling Desarranjo Número triangular
Ligações externas
Categoria:Teoria dos números Categoria:Funções matemáticas Categoria:Combinatória