A métrica de Kerr–Newman descreve a geometria do espaço-tempo em torno de uma massa eletricamente carregada e em rotação. É uma solução de vácuo que generaliza a métrica de Kerr (que descreve uma massa sem carga e em rotação) ao levar em conta adicionalmente a energia de um campo eletromagnético, tornando-a a solução estacionária e assintoticamente plana mais geral das equações de Einstein–Maxwell na relatividade geral. Como uma solução de eletrovácuo, ela inclui apenas as cargas associadas ao campo magnético; não inclui quaisquer cargas elétricas livres.
A métrica de Kerr–Newman possui interesse primordialmente teórico. Objetos astronômicos possuem eixos para a rotação e para os campos magnéticos, mas a métrica é válida somente para eixos alinhados entre si. O modelo carece de descrição da matéria bariônica em queda, luz (poeiras nulas) ou matéria escura e, assim, fornece uma descrição incompleta de buracos negros de massa estelar e núcleos galácticos ativos. A solução, contudo, é de interesse matemático e fornece uma base relativamente simples para explorações posteriores.
História Em dezembro de 1963, Roy Kerr e Alfred Schild descobriram as métricas de Kerr–Schild que forneceram todos os espaços de Einstein que são perturbações lineares exatas do espaço de Minkowski. No início de 1964, Kerr buscou todos os espaços de Einstein–Maxwell com esta mesma propriedade. Em fevereiro de 1964, o caso especial em que os espaços de Kerr–Schild eram carregados (incluindo a solução de Kerr–Newman) já era conhecido, mas o caso geral em que as direções especiais não eram geodésicas do espaço de Minkowski subjacente revelou-se muito difícil. O problema foi atribuído a George Debney para tentar resolvê-lo, mas foi abandonado em março de 1964. Por volta dessa época, Ezra T. Newman encontrou a solução para o caso de Kerr carregado por intuição e tentativa. Em 1965, Ezra "Ted" Newman encontrou a solução axissimétrica da equação de campo de Einstein para um buraco negro que é simultaneamente giratório e eletricamente carregado. Esta fórmula para o tensor métrico é chamada de métrica de Kerr–Newman. É uma generalização da métrica de Kerr para uma massa pontual giratória sem carga, que havia sido descoberta por Roy Kerr dois anos antes.
Visão geral da solução 220px|thumb|Sombra com traçado de raios de um buraco negro giratório e carregado com um disco de acreção e parâmetros , . O lado esquerdo do buraco negro gira em direção ao observador; a inclinação do eixo de rotação em relação ao observador é de 45°. O resultado de Newman representa a solução mais simples estacionária, axissimétrica e assintoticamente plana das equações de Einstein na presença de um campo eletromagnético em quatro dimensões. É por vezes referida como uma solução de eletrovácuo das equações de Einstein.
A solução contém uma singularidade na forma de um anel. A estrutura multipolar da solução sugere que ela representa o campo de um anel de carga girando em torno de seu eixo de simetria. De forma análoga, a solução de Kerr representa o campo de um anel de massa. Contudo, para que esta visão simplificada seja matematicamente exata, a carga (ou a massa, no caso de Kerr) necessita ser distribuída em torno do anel singular da solução para eliminar o comportamento multivalorado.
Qualquer fonte de Kerr–Newman tem o seu eixo de rotação alinhado com o seu eixo magnético. Assim, uma fonte de Kerr–Newman difere dos corpos astronômicos comumente observados, para os quais existe um ângulo substancial entre o eixo de rotação e o momento magnético. Especificamente, nem o Sol, nem qualquer um dos planetas no Sistema Solar possui o dipolo do seu campo magnético alinhado com o seu eixo de rotação. Deste modo, enquanto a solução de Kerr descreve o campo gravitacional do Sol e dos planetas, os campos magnéticos surgem necessariamente por um processo diferente.
Casos limites A métrica de Kerr–Newman pode ser reduzida a outras soluções exatas em relatividade geral em casos limites. Ela se reduz: à métrica de Kerr quando a carga Q tende a zero; à métrica de Reissner–Nordström quando o momento angular J (ou ) tende a zero; à métrica de Schwarzschild quando tanto a carga Q quanto o momento angular J (ou a) tendem a zero; e ao espaço de Minkowski se a massa M, a carga Q e o parâmetro rotacional a forem todos nulos.
As quatro soluções relacionadas podem ser resumidas pela seguinte tabela: {| class="wikitable" |- ! ! Sem rotação (J = 0) ! Em rotação (qualquer J) |- ! Sem carga (Q = 0) | Schwarzschild | Kerr |- ! Carregado (qualquer Q) | Reissner–Nordström | Kerr–Newman
onde Q é a carga elétrica do corpo e J é o seu momento angular de rotação (spin).
Tomando a constante gravitacional como zero na solução de Kerr–Newman, obtém-se um campo eletromagnético proveniente de um disco carregado em rotação com uma fronteira num espaço de Minkowski. A própria solução de Kerr–Newman é um caso especial de soluções exatas mais gerais das equações de Einstein–Maxwell. As soluções mais gerais incluem uma constante cosmológica, um parâmetro de Newman, Unti, Tamburino (NUT) e uma carga magnética.
Campo métrico A métrica de Kerr–Newman descreve a geometria do espaço-tempo para um buraco negro carregado e em rotação com massa M, carga Q e momento angular J. A fórmula para esta métrica depende de quais coordenadas ou condições de coordenadas são selecionadas. Duas formas são fornecidas abaixo: coordenadas de Boyer–Lindquist e coordenadas de Kerr–Schild. A métrica gravitacional isolada não é suficiente para determinar uma solução para as equações de campo de Einstein; o tensor de energia-momento eletromagnético também deve ser fornecido. Ambos são apresentados em cada seção.
Coordenadas de Boyer–Lindquist
Uma forma de expressar esta métrica consiste em escrever o seu elemento de linha num conjunto particular de coordenadas esféricas, também denominadas coordenadas de Boyer–Lindquist:
onde são coordenadas esféricas padrão, e as escalas de comprimento:
foram introduzidas por concisão. Aqui, rs é o raio de Schwarzschild do corpo massivo, que se relaciona com o seu equivalente de massa total M por
onde G é a constante gravitacional, e rQ é uma escala de comprimento correspondente à carga elétrica Q da massa:
onde ε0 é a permissividade do vácuo.
Tensor do campo eletromagnético na forma de Boyer–Lindquist O potencial eletromagnético em coordenadas de Boyer–Lindquist é dado por
enquanto o tensor de Maxwell é definido por
Em combinação com os símbolos de Christoffel, as equações de movimento de segunda ordem podem ser derivadas por meio de
onde é a razão carga-massa da partícula de teste.
Coordenadas de Kerr–Schild A métrica de Kerr–Newman pode ser expressa na forma de Kerr–Schild, utilizando um conjunto particular de coordenadas cartesianas, proposto por Kerr e Schild em 1965. A métrica assume a seguinte forma: Ver equações (7.10), (7.11) e (7.14).
Aqui, k é um vetor unitário. Aqui M é a massa constante do objeto girante, Q é a carga constante do objeto girante, η é a métrica de Minkowski, e a = J/M é um parâmetro rotacional constante do objeto girante. Subentende-se que o vetor aponta ao longo do semi-eixo z positivo, ou seja, . A quantidade r não é o raio, mas sim definida implicitamente pela relação:
A quantidade r torna-se o raio habitual R:
quando o parâmetro rotacional a tende a zero. Nesta forma da solução, as unidades são selecionadas de modo que a velocidade da luz seja unitária (). A fim de fornecer uma solução completa das equações de Einstein–Maxwell, a solução de Kerr–Newman inclui não apenas uma fórmula para o tensor métrico, mas também uma fórmula para o potencial eletromagnético:
A grandes distâncias da fonte (), estas equações reduzem-se à métrica de Reissner–Nordström com:
Na forma de Kerr–Schild da métrica de Kerr–Newman, o determinante do tensor métrico é em toda parte igual a menos um, mesmo nas proximidades da fonte. Ver página 485 a respeito do determinante do tensor métrico. Ver página 325 a respeito de generalizações.
Campos eletromagnéticos na forma de Kerr–Schild Os campos elétrico e magnético podem ser obtidos da maneira usual diferenciando o quadripotencial para se obter o tensor de intensidade do campo eletromagnético. É conveniente recorrer à notação vetorial tridimensional:
Os campos elétrico e magnético estáticos são derivados do potencial vetorial e do potencial escalar da seguinte forma:
Usando a fórmula de Kerr–Newman para o quadripotencial na forma de Kerr–Schild, no limite em que a massa tende a zero, obtém-se a seguinte fórmula complexa concisa para os campos:Gair, Jonathan. "Boundstates in a Massless Kerr–Newman Potential"
A quantidade ômega (Ω) nesta última equação é análoga ao potencial de Coulomb, exceto pelo fato de que o vetor posição é transladado por uma quantidade imaginária. Este potencial complexo foi abordado já no século XIX pelo matemático francês Paul Émile Appell.Appell, Math. Ann. xxx (1887) pp. 155–156. Discutido por Whittaker, Edmund e Watson, George. A Course of Modern Analysis, p. 400 (Cambridge University Press 1927).
Massa irredutível O equivalente de massa total M, que engloba a energia do campo elétrico e a energia de rotação, e a massa irredutível Mirr acham-se relacionados porThibault Damour: Black Holes: Energetics and Thermodynamics, p. 11Eq. 57 em
expressão que pode ser resolvida para se obter
Para carregar eletricamente e/ou conferir rotação a um corpo neutro e estático, é necessário fornecer energia ao sistema. Em virtude da equivalência massa-energia, esta energia também possui um equivalente de massa; logo, M é invariavelmente superior a Mirr. Se, por exemplo, a energia de rotação de um buraco negro for extraída através dos processos de Penrose, a massa-energia remanescente permanecerá sempre maior ou igual a Mirr.
Superfícies importantes 220px|thumb|right|link=Ficheiro:Kerr-surfaces.png|Horizontes de eventos e ergosferas de um buraco negro carregado e em rotação em coordenadas pseudoesféricas e cartesianas . Fazendo e resolvendo para , determinam-se os horizontes de eventos interno e externo, situados nas coordenadas de Boyer–Lindquist:
Repetindo este procedimento com , obtêm-se a ergossuperfície interna e externa:
A região compreendida entre o horizonte de eventos e a ergossuperfície é denominada ergosfera. No interior da ergosfera, todos os cones de luz locais acham-se inclinados na direção da rotação.
thumb|right|220px|link=Ficheiro:Kerr-Newman-Orbit-1.gif|Partícula de teste em órbita ao redor de um buraco negro em rotação e carregado (a/M = 0,9, Q/M = 0,4)
Equações de movimento Por concisão, utilizam-se a seguir quantidades adimensionalizadas normalizadas em relação a , , e , onde se reduz a e a , passando as equações de movimento para uma partícula de teste com carga a ser expressas como:
com designando a energia total e o momento angular axial. é a constante de Carter:
onde é a componente poloidal do momento angular da partícula de teste, e o ângulo de inclinação orbital.
e
sendo para fótons e para partículas de matéria também quantidades conservadas.
é a velocidade angular induzida pelo arrasto de referenciais (frame-dragging). O termo simplificado é definido por
A relação entre as derivadas de coordenadas e a 3-velocidade local é dada por
para a componente radial,
para a poloidal,
para a axial e
para a velocidade local total, onde
é o raio axial de giração (circunferência local dividida por 2π), e
a componente de dilatação temporal gravitacional. A velocidade de escape radial local para uma partícula neutra é, portanto,
Soluções extremais e singularidade nua