O número foi introduzido por Jacob Bernoulli em 1683. Após mais de um século, Euler, que fora um estudante de Johann, irmão mais novo de Jacob Johann, provou que é irracional; isto significa que não pode ser expresso como uma razão de dois inteiros.

Prova de Euler Euler escreveu sua primeira prova do fato de que é irracional em 1737 (mas o texto foi publicado apenas sete anos depois). Ele computou a representação de como uma fração contínua simples, que é

Como esta fração contínua é infinita e todo número racional tem uma fração contínua finita, é irracional. Existe uma prova breve da igualdade anterior conhecida.A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e Já que a fração contínua simples de não é periódica, isso também prova que não é uma raiz de um polinômio quadrático com coeficientes racionais; em particular, é irracional.

Prova de Fourier A prova mais conhecida é a prova por contradição de Joseph Fourier, que se baseia na igualdade

Inicialmente, assume-se que é um número racional, ou seja, que pode ser escrito na forma . A ideia é analisar a diferença ampliada (aqui denotada como ) entre a representação em série de e sua soma parcial estritamente menor, que aproxima o valor limite de . Escolhendo o fator de escala como o fatorial de , a fração e a soma parcial tornam-se números inteiros, portanto deve ser um número inteiro positivo. No entanto, a rápida convergência da representação em série implica que ainda é estritamente menor que 1. A partir dessa contradição, deduzimos que é irracional.

Agora para os detalhes, se é um número racional, existem números naturais e tal que . Definimos o número

Usando suposição de que , obtemos

O primeiro termo é um número inteiro, e cada fração na soma é, na verdade, um número inteiro porque para cada termo. Portanto, sob a suposição de que é racional, é um número inteiro.

Agora, provamos que . Primeiro, para provar que é estritamente positivo, inserimos a representação em série de e na definição de e obtemos

pois todos os termos são estritamente positivos.

Agora podemos provar que . Para todos os termos com temos a estimativa superior

Essa desigualdade é estrita para todo . Ao alterar o índice de soma para e usar a fórmula para a série geométrica infinita, obtemos

E, portanto, .

Como não há nenhum número inteiro estritamente entre 0 e 1, chegamos a uma contradição. Portanto, é irracional, C.Q.D.

Ver também Número transcendente Teorema de Lindemann–Weierstrass Prova da irracionalidade de π

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