Na mecânica clássica, o teorema das cascas (ou teorema da casca esférica) estabelece simplificações gravitacionais que podem ser aplicadas a corpos situados dentro ou fora de um objeto com simetria esférica. Este teorema possui aplicações fundamentais na astronomia e na astrofísica.

Isaac Newton demonstrou o teorema das cascas e enunciou que: Um corpo com simetria esférica afeta objetos externos gravitacionalmente como se toda a sua massa estivesse concentrada em uma massa pontual em seu centro. Se o corpo for uma casca com simetria esférica (ou seja, uma esfera oca), nenhuma força gravitacional resultante é exercida pela casca sobre qualquer objeto em seu interior, independentemente da posição do objeto dentro dela.

Um corolário direto é que, no interior de uma esfera sólida de densidade homogênea, a força gravitacional varia linearmente com a distância ao centro, anulando-se no centro de massa por simetria. Isso pode ser demonstrado da seguinte maneira: tome um ponto dentro de tal esfera, a uma distância do centro. Pelo teorema da casca (2), todas as cascas esféricas de raio superior a podem ser desconsideradas. Por sua vez, o ponto pode ser considerado externo à subsfera remanescente de raio e, de acordo com o item (1), toda a massa dessa esfera interna pode ser tratada como se estivesse concentrada em seu centro. Como a massa interna é proporcional a (com base no volume) e a atração gravitacional é inversamente proporcional a (pela lei do inverso do quadrado), o efeito gravitacional resultante é proporcional a apresentando variação estritamente linear em relação a

Esses resultados foram fundamentais para a análise de Newton sobre o movimento planetário; embora não sejam imediatamente evidentes, podem ser rigorosamente demonstrados por meio do cálculo infinitesimal. (A lei de Gauss para a gravidade fornece um método analítico alternativo e conciso para demonstrar o teorema.)

Além da gravidade, o teorema das cascas aplica-se de forma análoga ao campo elétrico gerado por uma densidade de carga eletrostática com simetria esférica, estendendo-se a qualquer outra interação que obedeça à lei do inverso do quadrado. As deduções a seguir concentram-se na gravidade, mas seus resultados aplicam-se diretamente à força eletrostática.

Dedução do campo gravitacional no exterior de uma esfera sólida A demonstração do teorema das cascas de Newton (1) divide-se em três etapas. Primeiro, deduz-se a equação do campo gravitacional gerado por um anel de massa. Em seguida, combinando um número infinito de anéis infinitesimais para compor um disco, utiliza-se a equação do anel para determinar o campo gravitacional produzido por um disco. Por fim, sobrepondo uma sucessão infinita de discos infinitesimais para formar uma esfera, obtém-se o campo gravitacional total gerado por uma esfera sólida.

O campo gravitacional em uma posição de coordenadas sobre o eixo x, devido a um ponto material de massa situado na origem, é:semquadro|300x300px

Suponha que essa massa seja deslocada verticalmente ao longo do eixo y até o ponto A distância entre e a massa pontual torna-se a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos e , dada por Consequentemente, o módulo do campo gravitacional desse ponto elevado é:semquadro|270x270px

A componente do campo gravitacional que atrai uma partícula no ponto ao longo do eixo x equivale ao módulo do campo multiplicado por , onde é o ângulo adjacente ao eixo x. Nesse caso, Logo, a componente do campo na direção x, , é dada por:Substituindo , obtém-se:

Se essa mesma massa for uniformemente distribuída em um anel de raio centrado na origem e perpendicular ao eixo x, cada elemento de massa do anel formará o mesmo ângulo em relação a esse eixo e estará situado à mesma distância de . Por razões de simetria, as componentes radiais perpendiculares ao eixo x anulam-se mutuamente, de modo que o campo na direção x produzido pelo anel é idêntico ao de uma massa pontual situada à distância do eixo:semquadro|280x280px

Para determinar o campo gerado por um disco circular, pode-se integrar um número infinito de anéis concêntricos de raio , espessura infinitesimal e massa . A fração de massa de cada anel em relação à massa total do disco corresponde à razão entre a área do anel e a área total do disco ou seja, Assim, a contribuição diferencial do anel para o campo é:semquadro|350x350px

Substituindo e integrando de a A integração resulta na expressão para o campo de um disco fino:

Para encontrar o campo de uma esfera sólida centrada na origem, decompõe-se o volume esférico em uma sucessão contínua de discos perpendiculares ao eixo que conecta a esfera ao ponto , cada qual com raio , espessura e massa .

O raio dos discos varia com a coordenada segundo o perfil da seção transversal da esfera (de raio constante ): com variando de a

A massa infinitesimal de um disco é a massa total da esfera multiplicada pela razão entre o volume do disco e o volume da esfera

A distância de cada disco ao ponto varia em função de sua posição , de modo que o termo deve ser substituído por

semquadro|350x350px

Substituindo por , por e por na equação do disco, obtém-se:Simplificando:

Efetuando a integração de a em relação a , obtém-se o teorema das cascas de Newton:onde é a distância entre o centro da esfera e o ponto . Portanto, o campo gravitacional de uma massa esférica homogênea no espaço externo é matematicamente equivalente ao gerado por uma partícula pontual de mesma massa situada em seu centro.

No exterior de uma casca esférica Um corpo sólido com simetria esférica pode ser modelado como uma sobreposição contínua de cascas esféricas concêntricas infinitesimais. Se uma dessas cascas puder ser tratada como uma massa pontual, o conjunto total de cascas (a esfera sólida) também poderá. Considere uma casca delgada de raio (a figura ilustra a seção transversal):

centro|500px

(Nota: o termo no diagrama refere-se ao ângulo infinitesimal, e não ao comprimento de arco, que é dado por

Pela lei da gravitação universal de Newton, a soma dos módulos das forças exercidas pelos elementos de massa contidos na faixa circular destacada é:

Contudo, pela simetria da faixa circular, as componentes normais à linha que une o centro à massa cancelam-se. A componente resultante ao longo da direção que aponta para é:

A força total sobre a partícula é calculada integrando a contribuição de todas as faixas circulares:

Para resolver a integral, expressa-se em termos de . A área superficial total da casca é , enquanto a área da faixa compreendida entre e é:

Sendo a massa total da casca:

resultando em:

Pela lei dos cossenos:

e

Essas relações vinculam as variáveis , e . À medida que varia de a radianos, parte de zero, atinge um valor máximo e retorna a zero em . Simultaneamente, a distância varia do valor inicial até o limite final . A animação abaixo ilustra essa dinâmica:

centro

(Nota: vista a partir de a faixa azul destacada assemelha-se a uma fina coroa circular cujos raios convergem para quando tende a zero.)

Para integrar, substitui-se a variável de integração por . Diferenciando a segunda expressão da lei dos cossenos:

Substituindo na integral:

onde varia no intervalo de a .

Introduzindo a relação para :

A função primitiva do integrando é dada por:

Aplicando os limites de integração e :

o que demonstra que a atração gravitacional externa de uma casca esférica delgada é estritamente equivalente à exercida por uma massa pontual idêntica posicionada no seu centro.

Da casca esférica à esfera sólida O resultado obtido para a casca esférica permite deduzir o campo de uma esfera homogênea integrando camadas concêntricas sucessivas de massa infinitesimal :

Sob densidade constante, a massa de uma camada esférica compreendida entre os raios e é:

Integrando no raio total :

confirmando que a gravidade exercida por uma esfera uniforme sobre um corpo externo reduz-se à atração de uma massa pontual equivalente em seu centro.

No interior de uma casca esférica Para um corpo teste situado no interior da casca, a geometria dos limites de integração altera-se: quando , radianos e . Conforme aumenta até radianos, decresce de até zero, enquanto eleva-se de a .

A configuração é ilustrada na figura: centro|240px

Aplicando esses limites à mesma primitiva:

obtém-se:

indicando que os vetores de força gravitacional gerados por todos os elementos de massa da casca anulam-se rigorosamente no interior da cavidade.

Generalização: Caso a força dependa do inverso de uma potência genérica, a resultante interna é:

A integral acima resulta identicamente nula se e somente se .

No exterior da casca (para ):

Dedução utilizando a lei de Gauss O teorema das cascas decorre imediatamente da lei de Gauss para a gravidade, expressa por:

onde é a massa contida no interior da superfície fechada e:

representa a integral de superfície do campo gravitacional , sendo o vetor unitário normal apontando para fora da superfície.

Devido à simetria esférica da distribuição de massa, o campo gravitacional depende unicamente da distância radial até o centro de simetria:

Escolhendo como superfície gaussiana uma esfera de raio concêntrica à distribuição, a integral simplifica-se:

Pela lei de Gauss:

Se o ponto estiver no interior de uma casca esférica oca (), a massa interna delimitada pela gaussiana é zero (), o que impõe diretamente .

Recíprocas e generalizações Questiona-se com frequência se a recíproca do teorema das cascas é verdadeira — isto é, se a validade do teorema implica necessariamente a lei da gravitação universal, ou se existem outras leis de força compatíveis. Se for exigido apenas que o campo exterior de uma casca coincida com o de uma massa pontual equivalente em seu centro, surge um grau de liberdade adicional. Conforme estabelecido pelo teorema de Gurzadyan, a lei de força mais geral que preserva essa propriedade externa é:

onde e são constantes arbitrárias. O primeiro termo reflete a gravitação newtoniana clássica; o segundo representa uma força radialmente proporcional, análoga ao termo da constante cosmológica na relatividade geral. Todavia, a lei do inverso do quadrado clássica é a única em que a força no interior da cavidade também se anula rigorosamente.

A força descrita pelo potencial de Yukawa:

possui a propriedade de que o campo fora de uma casca esférica também é yukawiano com o mesmo alcance centrado na origem, mas com uma massa pontual efetiva distinta da massa real da casca: .

Para corpos elipsoidais, as duas partes do teorema generalizam-se de formas distintas. Uma casca delimitada por dois elipsoides semelhantes e concêntricos (denominada homeoide) não exerce nenhuma força gravitacional sobre uma partícula em sua cavidade interna.Michel Chasles, Solution nouvelle du problème de l’attraction d’un ellipsoïde hétérogène sur un point exterieur, Jour. Liouville 5, 465–488 (1840) Por sua vez, uma casca limitada por elipsoides confocais (denominada focaloide) preserva a propriedade de que cascas confocais de massas iguais exercem forças idênticas sobre pontos externos.

Em estudos teóricos recentes, demonstrou-se que forças gravitacionais baseadas na teoria de Weber produzem forças resultantes não nulas sobre corpos em aceleração no interior de uma casca esférica.

Demonstrações de Newton

Introdução As proposições 70 e 71 dos Principia examinam a atração exercida sobre um corpúsculo por uma esfera oca com superfície infinitesimalmente fina e densidade superficial homogênea. A força de atração elementar é inversamente proporcional ao quadrado da distância. A primeira proposição aborda a partícula no interior da cavidade; a segunda, no exterior. O emprego de construções geométricas e processos de limites infinitesimais dispensou o uso de integrais explícitas, ilustrando o método geométrico clássico empregado por Newton.