Adição é uma das operações básicas da aritmética. Na sua forma mais simples, a adição combina dois números em um único número, denominado soma, total ou resultado. Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão, a adição de zero, um ou uma quantidade infinita de números pode ser definida.
Pode também ser uma operação geométrica: a partir de dois segmentos de reta dados é possível determinar um terceiro segmento cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.
Propriedades Comutatividade
A adição é comutativa, o que significa que se pode mudar a ordem dos termos em uma soma e ainda obter o mesmo resultado. Simbolicamente, se a e b são dois números quaisquer, então: a + b = b + a
O fato de que a adição é comutativa é conhecido como a "lei comutativa da adição" ou "propriedade comutativa da adição". Algumas outras operações binárias também são comutativas, como a multiplicação, mas muitas outras, como a subtração e a divisão, não são.
Associatividade
A adição é associativa, o que significa que, ao somar três ou mais números, a forma como os números são agrupados não altera o resultado.
Como exemplo, se a expressão a + b + c deve ser definida para significar (a + b) + c ou a + (b + c)? Dado que a adição é associativa, a escolha da definição é irrelevante. Para quaisquer três números a, b e c, é verdade que . Por exemplo, .
Quando a adição é usada juntamente com outras operações, a ordem das operações torna-se importante. Na ordem padrão das operações, a adição tem uma prioridade menor do que exponenciação, raízes enésimas, multiplicação e divisão, mas tem a mesma prioridade que a subtração.
Elemento identidade
Adicionar zero a qualquer número não muda o número; isso significa que zero é o elemento identidade para a adição e também é conhecido como a identidade aditiva. Em símbolos, para todo , temos: .
Esta lei foi identificada pela primeira vez na obra de Brahmagupta Brahmasphutasiddhanta em 628 d.C., embora ele a tenha escrito como três leis separadas, dependendo se a é negativo, positivo ou zero, utilizando palavras em vez de símbolos algébricos. Mais tarde, matemáticos indianos refinaram o conceito; por volta do ano 830, Mahavira escreveu: "zero torna-se o mesmo que o que é adicionado a ele", correspondendo à afirmação unária . No século XII, Bhaskara escreveu: "Na adição de zero, ou subtração dele, a quantidade, positiva ou negativa, permanece a mesma", correspondendo à afirmação unária .Kaplan pp. 69–71
Sucessor No contexto dos números inteiros, a adição de um também desempenha um papel especial: para qualquer inteiro a, o inteiro é o menor inteiro maior que a, também conhecido como o sucessor de a.Hempel, C.G. (2001). A filosofia de Carl G. Hempel: estudos em ciência, explicação e racionalidade. p. 7 Por exemplo, 3 é o sucessor de 2 e 7 é o sucessor de 6. Devido a essa sucessão, o valor de também pode ser visto como o b-ésimo sucessor de a, tornando a adição uma sucessão iterada. Por exemplo, é 8, porque 8 é o sucessor de 7, que é o sucessor de 6, tornando 8 o 2º sucessor de 6.
Unidades Para somar numericamente quantidades físicas com unidades, elas devem ser expressas com unidades comuns.R. Fierro (2012) Mathematics for Elementary School Teachers. Cengage Learning. Sec 2.3 Por exemplo, adicionar 50 mililitros a 150 mililitros resulta em 200 mililitros. No entanto, se uma medida de 5 pés for estendida por 2 polegadas, a soma é 62 polegadas, uma vez que 60 polegadas é sinônimo de 5 pés. Por outro lado, geralmente não faz sentido tentar somar 3 metros e 4 metros quadrados, uma vez que essas unidades são incomparáveis; esse tipo de consideração é fundamental na análise dimensional.
Notação alt=|miniaturadaimagem|120x120px|Símbolo matemático da soma. Se os termos, são escritos individualmente, então a adição é escrita usando-se o sinal mais, ou chus (em português arcaico) ("+"). Assim, a soma de 1, 2 e 4 é escrita como 1 + 2 + 4 = 7. Se os termos da soma não são escritos individualmente, então podemos usar reticências (...) para marcar os termos que foram omitidos. Assim, a soma de todos os números naturais de 1 a 100 é escrita como 1 + 2 + … + 99 + 100.
De forma alternativa, a soma pode ser representada pelo símbolo de somatório, que é a letra grega Sigma maiúscula. Isso é definido como:
O subscrito i fornece o símbolo para uma variável, i. Aqui, i representa o índice do somatório; m é o limite inferior do somatório, e n é o limite superior do somatório. Assim, por exemplo:
Podemos também considerar somas com uma quantidade infinita de termos, chamadas de séries infinitas. A diferença na notação seria o uso do símbolo de infinito (∞) no lugar dos limites inferior e/ou superior. A soma de tais séries é definida como o limite da soma dos n primeiros termos quando n cresce sem limites. Isto é:
Podemos substituir de forma similar m por infinito negativo, e
para algum m, desde que ambos os limites existam.
Relações com outras operações e constantes É possível somar menos que 2 números: Se você somar o termo único x, então a soma é x; Se você somar zero termos, então a soma é zero, porque zero é o elemento neutro da adição. Isso é conhecido como soma vazia.
Esses casos degenerados são normalmente usados apenas quando a notação de soma dá um resultado degenerado num caso especial. Por exemplo, se m = n na definição acima, então há apenas um termo na soma; se m = n + 1, então não há nenhum.
Muitas outras operações podem ser pensadas como somas generalizadas. Se um termo único x aparece numa soma n vezes, então a soma é nx, o resultado de uma multiplicação. Se n não é um número natural, então a multiplicação ainda pode fazer sentido, de modo que temos uma espécie de noção de somar um termo, digamos, duas vezes e meia.
Um caso especial é a multiplicação por -1, que leva ao conceito de inverso aditivo, e a subtração, a operação inversa da adição.
A versão mais geral destas ideias é a combinação linear, em que qualquer quantidade de termos é incluída em uma soma generalizada qualquer número de vezes.
Somas úteis As identidades a seguir são bastante úteis:
(ver séries aritméticas);
(ver séries geométricas); (caso especial do anterior em que ) (caso especial do anterior, );
(ver coeficiente binomial);
Em geral, a soma das n primeiras potências de m é
onde é o k-ésimo número de Bernoulli.
As seguintes expressões são aproximações úteis (usando notação teta): {| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0
| para toda constante real c maior que -1;
{| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0
| para toda constante real c maior que 1; |} {| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0
| para toda constante real c maior ou igual a zero; |} {| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0
| para todas constantes reais não-negativas c e d; |} {| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0
| para todas constantes reais b > 1, c, d.
Aproximação por integrais Muitas aproximações podem ser obtidas pela seguinte conexão entre somas e integrais, válida para qualquer função crescente f:
Para aproximações mais gerais, ver a fórmula de Euler-Maclaurin.
Em música A adição também é usada na teoria musical dos conjuntos. George Perle fornece o exemplo seguinte: "dó-mi, ré-fá♯, mi♭-sol, são instâncias diferentes do mesmo intervalo… o outro tipo de identidade… está relacionado a eixos de simetria. Dó-mi pertence à família de díades simetricamente relacionadas, como segue:"
ré ré♯ mi fá fá♯ sol sol♯ré dó♯ dó si lá♯ lá sol♯ Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pela classe de alturas.
Assim, além de serem parte da família de intervalos-4, dó-mi também é parte da família soma-2 (com G♯ igual a 0).
A linha de tonalidades para a Lyric Suite de Alban Berg, , é uma série de seis díades, todas somando 11. Se a linha é rotacionada e invertida, ela se torna , em que todas as díades somam 6.
+Díades sucessivas da linha de tonalidades de Lyric Suite, todas somando 11dó sol ré ré♯ lá♯ mi♯si mi lá sol♯ dó♯ fá♯ Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pelas díades (intervalo 1).
Ver também Aritmética modular Soma de Gauss Portal:Matemática
Ligações externas Addition
Categoria:Aritmética elementar