Matriz (matemática)

alt=Dois colchetes altos com m linhas, cada uma contendo n variáveis com a letra 'a' subscrita. A cada letra 'a' é atribuído um número de linha e um número de coluna como seu subscrito.|thumb|Uma matriz : as linhas são horizontais e as colunas são verticais. Cada elemento de uma matriz é frequentemente denotado por uma variável com dois subscritos. Por exemplo, representa o elemento na segunda linha e primeira coluna da matriz.

Matriz (plural: matrizes), na matemática, é um arranjo retangular de números ou outros objetos matemáticos com elementos ou entradas organizados em linhas e colunas, satisfazendo geralmente certas propriedades de adição e multiplicação.

Por exemplo,

denota uma matriz com duas linhas e três colunas. Isto é frequentemente referido como uma "matriz dois por três", uma matriz , ou uma matriz de dimensão .

Na álgebra linear, as matrizes são usadas como aplicações lineares. Na geometria, as matrizes são usadas para transformações geométricas (por exemplo, rotações) e mudanças de coordenadas. Na análise numérica, muitos problemas computacionais são resolvidos reduzindo-os a uma computação matricial, e isto envolve frequentemente computar com matrizes de enormes dimensões. As matrizes são usadas na maioria das áreas da matemática e em campos científicos, quer diretamente, quer através do seu uso na geometria e na análise numérica.

As matrizes quadradas, matrizes com o mesmo número de linhas e colunas, desempenham um papel fundamental na teoria das matrizes. O determinante de uma matriz quadrada é um número associado à matriz, o qual é fundamental para o estudo de uma matriz quadrada; por exemplo, uma matriz quadrada é inversível se e somente se tiver um determinante não-nulo e os autovalores de uma matriz quadrada são as raízes do seu polinômio característico, .

A teoria das matrizes é o ramo da matemática que se foca no estudo das matrizes. Foi inicialmente um sub-ramo da álgebra linear, mas rapidamente cresceu para incluir assuntos relacionados com a teoria dos grafos, álgebra, combinatória e estatística.

História As matrizes têm uma longa história de aplicação na resolução de equações lineares, mas eram conhecidas como arranjos (arrays) até ao século XIX. O texto chinês Os Nove Capítulos da Arte Matemática, escrito entre os séculos X e II a.C., é o primeiro exemplo do uso de métodos de arranjo para resolver equações simultâneas, citado por incluindo o conceito de determinantes. Em 1545, o matemático italiano Gerolamo Cardano introduziu o método na Europa quando publicou a Ars Magna. O matemático japonês Seki Kowa usou os mesmos métodos de arranjo para resolver equações simultâneas em 1683. O matemático holandês Jan de Witt representou transformações usando arranjos no seu livro de 1659, Elementos das Curvas (1659). Entre 1700 e 1710, Gottfried Wilhelm Leibniz publicitou o uso de arranjos para registar informações ou soluções e experimentou mais de 50 sistemas diferentes de arranjos. Cramer apresentou a sua regra em 1750.

Este uso do termo matriz na matemática (uma palavra inglesa para "útero" no século XIX, do latim, bem como uma palavra de jargão na impressão, na biologia e na geologia) foi cunhado por James Joseph Sylvester em 1850,O exemplo publicado mais antigo é J. J. Sylvester (1850) "Additions to the articles in the September number of this journal, 'On a new class of theorems,' and on Pascal's theorem," The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 37: 363-370. Da página 369: "Para este propósito, devemos começar, não com um quadrado, mas com um arranjo retangular de termos consistindo, suponhamos, em m linhas e n colunas. Isto não representa em si um determinante, mas é, por assim dizer, uma Matriz a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes..." que compreendeu uma matriz como um objeto que dá origem a vários determinantes hoje chamados de menores, ou seja, determinantes de matrizes menores que derivam da original através da remoção de colunas e linhas. Num artigo de 1851, Sylvester explica:

Arthur Cayley publicou um tratado sobre transformações geométricas utilizando matrizes que não eram versões rodadas dos coeficientes a serem investigados, como havia sido feito anteriormente. Em vez disso, ele definiu operações como adição, subtração, multiplicação e divisão como transformações dessas matrizes e mostrou que as propriedades associativa e distributiva se mantinham. Cayley investigou e demonstrou a propriedade não comutativa da multiplicação de matrizes, bem como a propriedade comutativa da adição de matrizes. A teoria inicial das matrizes havia limitado o uso de arranjos quase exclusivamente aos determinantes e as operações matriciais abstratas de Cayley foram revolucionárias. Ele foi fundamental na proposta de um conceito de matriz independente de sistemas de equações. Em 1858, Cayley publicou o seu A memoir on the theory of matrices no qual propôs e demonstrou o teorema de Cayley-Hamilton.

O matemático inglês Cuthbert Edmund Cullis foi o primeiro a usar a notação moderna de colchetes para matrizes em 1913 e demonstrou simultaneamente o primeiro uso significativo da notação para representar uma matriz, onde refere-se à -ésima linha e à -ésima coluna.

O estudo moderno dos determinantes surgiu de várias fontes. Problemas teórico-numéricos levaram Gauss a relacionar coeficientes de formas quadráticas, ou seja, expressões como , e aplicações lineares em três dimensões a matrizes. Eisenstein desenvolveu ainda mais essas noções, incluindo a observação de que, na linguagem moderna, os produtos de matrizes são não comutativos. Cauchy foi o primeiro a provar afirmações gerais sobre determinantes, usando como definição do determinante de uma matriz o seguinte: substituir as potências por no polinômio

onde denota o produto dos termos indicados. Ele também mostrou, em 1829, que os autovalores de matrizes simétricas são reais. Jacobi estudou "determinantes funcionais" — mais tarde chamados de determinantes jacobianos por Sylvester — que podem ser usados para descrever transformações geométricas num nível local (ou infinitesimal), ver acima. A obra Vorlesungen über die Theorie der Determinanten de Kronecker e Zur Determinantentheorie de Weierstrass, ambas publicadas em 1903, trataram os determinantes pela primeira vez de forma axiomática, em oposição a abordagens anteriores mais concretas, como a mencionada fórmula de Cauchy. Nessa altura, os determinantes estavam firmemente estabelecidos.

Muitos teoremas foram primeiro estabelecidos apenas para matrizes pequenas; por exemplo, o teorema de Cayley-Hamilton foi provado para matrizes por Cayley na memória supramencionada, e por Hamilton para matrizes . Frobenius, a trabalhar em formas bilineares, generalizou o teorema para todas as dimensões (1898). Também no final do século XIX, a eliminação de Gauss-Jordan (generalizando um caso especial agora conhecido como eliminação de Gauss) foi estabelecida por Wilhelm Jordan. No início do século XX, as matrizes alcançaram um papel central na álgebra linear, parcialmente devido ao seu uso na classificação dos sistemas de números hipercomplexos do século anterior.

A criação da mecânica matricial por Heisenberg, Born e Jordan levou ao estudo de matrizes com infinitas linhas e colunas. Mais tarde, von Neumann realizou a formulação matemática da mecânica quântica, desenvolvendo ainda mais as noções da análise funcional, tais como operadores lineares em espaços de Hilbert, os quais, grosso modo, correspondem ao espaço euclidiano, mas com uma infinidade de direções independentes.

Outros usos históricos da palavra "matriz" na matemática A palavra foi usada de formas invulgares por pelo menos dois autores de importância histórica.

Bertrand Russell e Alfred North Whitehead no seu Principia Mathematica (1910–1913) usam a palavra "matriz" no contexto do seu axioma da redutibilidade. Eles propuseram este axioma como um meio para reduzir qualquer função a uma de tipo inferior, sucessivamente, de modo a que no "fundo" (ordem 0) a função seja idêntica à sua extensão:Whitehead, Alfred North; e Russell, Bertrand (1913) Principia Mathematica to *56, Cambridge at the University Press, Cambridge UK (republicado em 1962) cf página 162ff.

Por exemplo, uma função de duas variáveis e pode ser reduzida a uma coleção de funções de uma única variável, tal como , "considerando" a função para todos os valores possíveis de "indivíduos" substituídos no lugar de uma variável . E então a coleção resultante de funções da única variável , ou seja, , pode ser reduzida a uma "matriz" de valores "considerando" a função para todos os valores possíveis de "indivíduos" substituídos no lugar da variável :

Alfred Tarski na sua Introdução à Lógica de 1941 usou a palavra "matriz" como sinônimo da noção de tabela de verdade, tal como usada na lógica matemática.

Definição Uma matriz é um arranjo retangular de números (ou outros objetos matemáticos), chamados de "entradas" da matriz. As matrizes estão sujeitas a operações padrão, tais como a adição e a multiplicação. Mais comumente, uma matriz sobre um corpo é um arranjo retangular de elementos de . Uma matriz real e uma matriz complexa são matrizes cujas entradas são, respetivamente, números reais ou números complexos. Tipos mais gerais de entradas são discutidos abaixo. Por exemplo, esta é uma matriz real:

Os números (ou outros objetos) na matriz são chamados de suas entradas ou elementos. As linhas horizontais e verticais de entradas numa matriz são chamadas respetivamente de linhas e colunas.

Tamanho O tamanho de uma matriz é definido pelo número de linhas e colunas que ela contém. Não há limite para o número de linhas e colunas que uma matriz (no sentido usual) pode ter, desde que sejam inteiros positivos. Uma matriz com linhas e colunas é chamada de matriz , ou matriz -por-, onde e são chamadas as suas dimensões. Por exemplo, a matriz acima é uma matriz .

Matrizes com uma única linha são chamadas de matrizes linha ou vetores linha, e aquelas com uma única coluna são chamadas de matrizes coluna ou vetores coluna. Uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas é chamada de matriz quadrada. Uma matriz com um número infinito de linhas ou colunas (ou ambos) é chamada de matriz infinita. Em alguns contextos, tais como programas de computação algébrica, é útil considerar uma matriz sem linhas ou sem colunas, chamada de matriz vazia.

+Visão geral do tamanho de uma matriz Nome Tamanho Exemplo Descrição Matriz linha Uma matriz com uma linha e mais de uma coluna, por vezes usada para representar um vetor Matriz coluna Uma matriz com uma coluna e mais de uma linha, por vezes usada para representar um vetor Matriz quadrada Uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas, por vezes usada para representar uma transformação linear de um espaço vetorial nele próprio, tal como uma reflexão, rotação ou cisalhamento.

Matrizes com uma única linha são chamadas de matrizes linha ou vetores linha, e aquelas com uma única coluna são chamadas de matrizes coluna ou vetores coluna. Uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas é chamada de matriz quadrada. Uma matriz com um número infinito de linhas ou colunas (ou ambos) é chamada de matriz infinita. Em alguns contextos, tais como programas de computação algébrica, é útil considerar uma matriz sem linhas ou sem colunas, chamada de matriz vazia.

+Visão geral do tamanho de uma matriz Nome Tamanho Exemplo Descrição Matriz linha Uma matriz com uma linha e mais de uma coluna, por vezes usada para representar um vetor Matriz coluna Uma matriz com uma coluna e mais de uma linha, por vezes usada para representar um vetor Matriz quadrada Uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas, por vezes usada para representar uma transformação linear de um espaço vetorial nele próprio, tal como uma reflexão, rotação ou cisalhamento.

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