Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária da seguinte forma:
onde é dada e a incógnita é a função . O domínio pode ser um intervalo ou a reta real inteira.
Quando a função não depende explicitamente sobre a variável independente e o problema pode ser escrito na seguinte forma:
então diz-se que se trata de um sistema autônomo de primeira ordem.
Exemplos EquaçãoSoluçãoDomínio
Em todos os casos a constante de integração é arbitrária
O problema de valor inicial O problema de valor inicial para a equação diferencial ordinária de primeira ordem consiste em encontrar a função que satisfaz a equação diferencial dada e assume a condição inicial no ponto inicial do intervalo:
Exemplo
A (única) solução desta equação diferencial é dada por
O teorema de Picard-Lindelöf
O teorema de Picard-Lindelöf estabelece a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de para o problema de valor inicial:
onde é uma função contínua na variável e Lipschitz contínua na variável .
O problema de valores contorno O problema de valores de contorno para a equação diferencial ordinária de primeira ordem consiste em encontrar a função que satisfaz a equação diferencial dada em um intervalo e cujos valores nos extremos e satisfazem uma condição dada:
Exemplo
A (única) solução desta equação diferencial é dada por
Equação linear O caso linear acontece quando a função é da seguinte forma:
A equação fica, então:
Esta equação pode ser resolvida multiplicando pelo fator integrante:
então, integrando, temos:
ou, equivalentemente:
Equações de variáveis separáveis Uma equação é designada de variáveis separáveis, se puder ser escrita na forma:
Para resolver este tipo de equação primeiro observemos que a primitiva da função pode ser calculada da seguinte forma
A equação diferencial pode ser escrita como
e a primitiva em ordem a do lado esquerdo é igual à primitiva em ordem a de como acabamos de ver
As equações do tipo
onde e são constantes, não são equações de variáveis separáveis, mas podem ser reduzidas a elas por meio da seguinte substituição
Equações exatas Qualquer equação de primeira ordem pode ser escrita em forma diferencial:
esta forma é semelhante à expressão da diferencial de uma função de duas variáveis
Esta equação sugere-nos admitir que existe uma função cujas derivadas parciais são iguais a e . No entanto, a segunda derivada parcial de seria
Assim, para que a conjetura da existência da função seja consistente, é necessário que as funções e verifiquem a seguinte condição
nesse caso diz-se que a equação é uma equação exata e pode ser escrita como
sendo a sua solução geral
A função calcula-se encontrando a função cujas derivadas parciais sejam iguais a e . Equações homogêneas Uma equação de primeira ordem diz-se homogénea se tiver a seguinte forma geral
para resolver este tipo de equação usa-se a substituição
a qual transforma a equação numa equação de variáveis separáveis. Para reconhecer facilmente se uma função racional é da forma observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de mais o expoente de ) os quais deverão ser iguais. Por exemplo das duas funções seguintes a primeira tem a forma mas a segunda não
Existem outras equações que podem ser reduzidas a equações homogêneas. Um exemplo típico é a equação
onde e são constantes dadas. Se as constantes e fossem nulas, a equação seria homogênea; definimos um novo sistema de coordenadas para substituir , de forma a obter
ou de forma equivalente
a solução deste sistema de equações lineares pode ser obtido por meio da regra de Cramer
como os lados direitos da equação e da equação são constantes, também temos que , e a equação diferencial transforma-se numa equação homogênea
Não-unicidade de soluções Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem admitem duas soluções distintas que satisfazem a mesma condição inicial. Um exemplo simples de um equação que apresenta esse fenômeno é seguinte:
Esta admite como solução qualquer função da seguinte forma:
aqui é uma constante positiva qualquer.
Divergência em tempo finito Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem apresentam uma solução que diverge em tempo finito. Um exemplo é a seguinte equação:
Esta admite como solução qualquer função da seguinte forma:
Ver também Retrato de fase
Ligações externas Eric W. Weisstein, First-Order Ordinary Differential Equation no MathWorld.
Categoria:Equações diferenciais