thumb|300px|direita|Algumas trajetórias de um oscilador harmônico de acordo com as leis de Newton da mecânica clássica (A–B) e de acordo com a equação de Schrödinger da mecânica quântica (C–H). Em A–B, a partícula (representada como uma esfera presa a uma mola) oscila para a frente e para trás. Em C–H, são exibidas algumas soluções da equação de Schrödinger, onde o eixo horizontal representa a posição e o eixo vertical a parte real (azul) ou a parte imaginária (vermelho) da função de onda. C, D, E e F, diferentemente de G e H, são autoestados de energia. H é um estado coerente — um estado quântico que se aproxima da trajetória clássica.

O oscilador harmônico quântico é o análogo na mecânica quântica do oscilador harmônico clássico. Como um potencial suave arbitrário pode ser habitualmente aproximado por um potencial harmônico na vizinhança de um ponto de equilíbrio estável, trata-se de um dos sistemas modelo mais importantes da mecânica quântica. Além disso, é um dos poucos sistemas mecanocuânticos para os quais se conhece uma solução analítica exata.Harald J. W. Müller-Kirsten, Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral, 2.ª ed. (2012) World Scientific, ISBN 9789814397742. Trata detalhadamente do método de operadores, funções de Hermite e integração de contorno, pp. 130–141.

Oscilador harmônico unidimensional

Hamiltoniano e autoestados de energia thumb|Representações das funções de onda para os oito primeiros autoestados ligados, de n = 0 a 7. O eixo horizontal indica a posição x. thumb|Densidades de probabilidade correspondentes.

O hamiltoniano da partícula é dado por:

onde é a massa da partícula, é a constante elástica da força, é a frequência angular do oscilador, é o operador posição (dado por na base das coordenadas) e é o operador momento (expresso por na base das coordenadas). O primeiro termo do hamiltoniano representa a energia cinética da partícula e o segundo termo representa a sua energia potencial, tal como na lei de Hooke.

A equação de Schrödinger independente do tempo (TISE) é:

onde denota um número real (a ser determinado) que especificará um nível de energia independente do tempo, ou autovalor, e a solução denota o autoestado de energia correspondente a esse nível.

Resolve-se então a equação diferencial que representa esse problema de autovalores na base das coordenadas para a função de onda utilizando um método espectral. Constata-se que existe uma família de soluções. Nessa base, elas correspondem às funções de Hermite:

As funções são os polinômios de Hermite empregados na física:

Os níveis de energia correspondentes são dados por:

Os valores esperados da posição e do momento combinados com a variância de cada variável podem ser derivados da função de onda para compreender o comportamento dos autoestados de energia. Por simetria do problema, verifica-se que e , enquanto:

Observa-se que a variância tanto na posição quanto no momento aumenta para níveis de energia mais elevados. O nível de menor energia apresenta o valor , que é o valor mínimo admissível pela relação de incerteza e corresponde a uma função de onda gaussiana.

Esse espectro de energia destaca-se por quatro razões principais: As energias são quantizadas, o que significa que apenas valores discretos de energia (múltiplos semi-inteiros de ) são possíveis; essa é uma característica geral dos sistemas da mecânica quântica quando uma partícula está confinada. Esses níveis discretos de energia são uniformemente espaçados, diferentemente do que ocorre no modelo atômico de Bohr ou no caso da partícula em uma caixa. A menor energia alcançável (a energia do estado , denominado estado fundamental) não é igual ao mínimo do poço de potencial, mas situa-se acima dele; essa grandeza é chamada de energia do ponto zero. Devido à energia de ponto zero, a posição e o momento do oscilador no estado fundamental não são fixos (como seriam em um oscilador clássico), apresentando uma pequena faixa de variância em conformidade com o princípio da incerteza de Heisenberg. Os níveis de energia são não degenerados, implicando que cada autovalor está associado a apenas uma única solução (estado).

A densidade de probabilidade do estado fundamental concentra-se na origem, o que significa que a partícula passa a maior parte do tempo no fundo do poço de potencial, exatamente como se esperaria para um estado de baixa energia. À medida que a energia aumenta, a densidade de probabilidade desenvolve picos nos "pontos de retorno clássicos", onde a energia do estado coincide com a energia potencial. (Veja a discussão abaixo sobre os estados altamente excitados.) Esse comportamento é consistente com o oscilador harmônico clássico, no qual a partícula passa a maior parte do tempo (e, portanto, tem maior probabilidade de ser encontrada) próxima aos pontos de retorno, onde se desloca mais lentamente. O princípio da correspondência é, assim, satisfeito. Além disso, pacotes de onda especiais não dispersivos com incerteza mínima, denominados estados coerentes, oscilam de forma muito similar a objetos clássicos, conforme ilustrado na figura; eles não são autoestados do hamiltoniano.

Método dos operadores escada thumb|direita|Densidades de probabilidade para os autoestados ligados, iniciando pelo estado fundamental () na base e aumentando em energia em direção ao topo. O eixo horizontal exibe a posição , e as cores mais claras representam maiores densidades de probabilidade.

O método dos "operadores escada", desenvolvido por Paul Dirac, permite obter os autovalores de energia sem resolver diretamente a equação diferencial. Esse método é generalizável para problemas mais complexos, sobretudo na teoria quântica de campos. Seguindo essa abordagem, definem-se o operador e o seu adjunto hermitiano :

Note que esses operadores classicamente correspondem exatamente aos geradores de rotação normalizada no espaço de fases de e , ou seja, descrevem a evolução direta e retrógrada no tempo de um oscilador harmônico clássico.

Esses operadores conduzem à seguinte representação para e :

O operador não é hermitiano, uma vez que ele próprio e seu adjunto não são iguais. A atuação desses operadores escada sobre os autoestados de energia resulta em:

A partir das relações acima, pode-se também definir o operador número , que possui a seguinte propriedade:

Os seguintes comutadores podem ser facilmente obtidos substituindo-se a relação de comutação canônica:

e o operador hamiltoniano pode ser expresso como:

de modo que os autoestados de são simultaneamente autoestados da energia. Para verificar isso, aplica-se a um estado numérico :

Usando a propriedade do operador número :

obtém-se:

Assim, como satisfaz a TISE para o operador hamiltoniano , ele também é um de seus autoestados com o autovalor correspondente:

Q.E.D.

A propriedade de comutação fornece:

e, analogamente:

Isso significa que atua sobre para produzir, a menos de uma constante multiplicativa, , e atua sobre para produzir . Por essa razão, é denominado um operador de aniquilação ("operador de abaixamento"), e um operador de criação ("operador de levantamento"). Os dois operadores em conjunto são chamados de operadores escada.

Dado qualquer autoestado de energia, podemos atuar sobre ele com o operador de abaixamento, , para produzir outro autoestado com a menos de energia. Pela aplicação repetida do operador de abaixamento, pareceria possível produzir autoestados de energia indefinidamente até . Contudo, uma vez que

o menor autovalor do operador número é 0, e

Nesse caso, aplicações subsequentes do operador de abaixamento produzirão simplesmente o vetor nulo, em vez de novos autoestados de energia. Além disso, demonstrou-se acima que:

Por fim, atuando sobre com o operador de levantamento e multiplicando pelos fatores de normalização adequados, podemos produzir um conjunto infinito de autoestados de energia:

tais que

o que coincide com o espectro de energia fornecido na seção anterior.

Autoestados arbitrários podem ser expressos em termos de :

Questões analíticas A análise precedente é algébrica, utilizando apenas as relações de comutação entre os operadores de levantamento e abaixamento. Uma vez concluída a análise algébrica, deve-se voltar para as questões analíticas. Primeiramente, deve-se encontrar o estado fundamental, isto é, a solução da equação . Na representação das posições, essa é a equação diferencial de primeira ordem:

cuja solução é facilmente obtida como sendo a função gaussiana:A constante de normalização é , e satisfaz a condição de normalização .

Conceitualmente, é importante que haja apenas uma solução para essa equação; se houvesse, por exemplo, dois estados fundamentais linearmente independentes, obteríamos duas cadeias independentes de autovetores para o oscilador harmônico. Uma vez calculado o estado fundamental, pode-se demonstrar por indução que os estados excitados são polinômios de Hermite multiplicados pelo estado fundamental gaussiano, utilizando a forma explícita do operador de levantamento na representação das posições. Também se pode demonstrar que, como esperado a partir da unicidade do estado fundamental, os autoestados de energia expressos pelas funções de Hermite construídos pelo método da escada formam um conjunto ortonormal completo de funções.

Dado que as funções de Hermite são puramente pares ou ímpares, pode-se demonstrar que o deslocamento médio e o momento médio são iguais a 0 para todos os estados no oscilador harmônico quântico.

Conectando-se explicitamente com a seção anterior, o estado fundamental na representação das posições é determinado por :

portanto:

de modo que , e assim por diante.

Escalas naturais de comprimento e energia

O oscilador harmônico quântico possui escalas naturais de comprimento e de energia, que podem ser utilizadas para simplificar o problema. Essas escalas podem ser obtidas por adimensionalização.

O resultado é que, se a energia for medida em unidades de e a distância em unidades de , o hamiltoniano simplifica-se para:

enquanto as autofunções e autovalores de energia simplificam-se para funções de Hermite e inteiros deslocados por meio:

onde são os polinômios de Hermite.

Para evitar ambiguidades, essas "unidades naturais" em geral não serão adotadas neste artigo. Contudo, elas são frequentemente convenientes na realização de cálculos, evitando sobrecarga de constantes.

Por exemplo, a solução fundamental (propagador) de , o operador de Schrödinger dependente do tempo para este oscilador, reduz-se diretamente ao núcleo de Mehler:Wolfgang Pauli, Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics, Dover Publications, 2000, ISBN 978-0486414621, Seção 44.Edward Condon, "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 23, pp. 158–164, 1937.

onde . A solução mais geral para uma dada configuração inicial é então simplesmente:

Estados coerentes

thumb|direita|450px|Dinâmica do estado coerente para , em unidades do comprimento do oscilador harmônico , exibindo a densidade de probabilidade e a fase quântica (cor).

Os estados coerentes (também conhecidos como estados de Glauber) do oscilador harmônico são pacotes de onda especiais não dispersivos, com incerteza mínima , cujos valores esperados de seus observáveis evoluem como em um sistema clássico. Eles são autovetores do operador de aniquilação, e não do hamiltoniano, e formam uma base sobrecompleta que, consequentemente, não possui ortogonalidade.

Os estados coerentes são indexados por e expressos na base como:

Como os estados coerentes não são autoestados de energia, sua evolução temporal não consiste em uma simples mudança na fase da função de onda. Os estados evoluídos no tempo são, no entanto, também estados coerentes, mas com o parâmetro de deslocamento de fase variando temporalmente: .