Este artigo trata de equação diferencial ordinária exata no sentido denotativo, para possível sentido conotativo, que pode causar confusão, ver equações diferenciais estocásticas.
Uma Equação diferencial ordinária é dita exata quando é possível colocá-la na seguinte forma:
e
com e funções diferenciáveis e integráveis.
Teorema O seguinte teorema fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.
Suponha que as funções e , onde os índices denotam derivadas parciais, são contínuas na região conexa .
Então, a equação
é uma equação diferencial exata em se, e só se, (1) em cada ponto de R.
Isto é, existe uma função que satisfaz as equações,
se, e só se, e satisfazem (1), pois
Método de Solução Uma equação diferencial ordinária do tipo
é equivalente a
, pois
Se ela for uma equação exata, teremos que .
Então podemos supor que há uma função de modo que .
Assim, para obter essa função basta integrar em relação a .
. Note-se que é a constante de integração, e como não depende de , .
Agora podemos derivar na direção de supondo que . Assim, obtemos:
.
Isolando temos:
Então, por fim, integramos na direção de , de modo a obter:
Ou seja
E, finalmente, a solução da equação diferencial é a função implícita
Exemplo Resolvamos a equação Diferencial Ordinária .
Temos: , onde e . Logo, , donde se conclui que é exata.
Pelo corolário acima, ∃F(x,y), então: . Integrando em relação a x: , em que f(y) é uma função de y. Além disso, . Então .
Integrando em relação a y, temos: , c constante.
Logo, pelo corolário, a função F é:
A solução da equação diferencial exata é ou seja
Exemplo no plano Considere uma função diferenciável da qual pode-se deduzir a expressão diferencial exata
A expressão que deu origem à equação, , representa uma superfície de um tipo especial, pois é o gráfico de uma função diferenciável.
Esta superfície, quando cortada pelo plano (de altura) constante equivale a resolver o sistema de equações:
Geometricamente falando, o resultado desta interseção é uma curva no espaço, obtida pela interserção de duas superfícies. Como o plano é paralelo ao plano então há uma projeção desta curva espacial sobre o domínio de que chamamos curva de nível. Observe que se pode representar a interseção escrevendo
Diferenciando esta última equação, obtemos:
Esta última expressão é a que em geral temos, a equação diferencial exata. Quer dizer, resolver uma equação diferencial exata consiste em recuperar, se for possível, a função cuja diferencial se encontra expressa na equação.
Mas não é nesta forma canônica, das equações diferenciais exatas, uma das razões disso é que ela podem representar formas não exatas. A forma canônica é
Esta equação é dita exata se existe uma função tal que
Resolver, então, a equação diferencial exata consiste em descobrir a partir de suas derivadas parciais.
Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers:Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications, 157-160. ISBN 0-486-41147-8
Ver também Método do fator integrante Equações separáveis Método da variação de parâmetros Redução de ordem Coeficientes a determinar Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)
Categoria:Equações diferenciais