thumb|O ângulo inscrito β subtendido pelo arco AB no ponto P localizado na circunferência do círculo. thumb|upright=1.0|class=skin-invert-image|O ângulo inscrito em um círculo.
Na geometria, um ângulo inscrito é o ângulo formado no interior de um círculo quando duas cordas se interceptam sobre o círculo. Também pode ser definido como o ângulo subtendido em um ponto do círculo por outros dois pontos dados no mesmo círculo.
O teorema do ângulo inscrito, às vezes chamado de teorema do ângulo central, relaciona a medida de um ângulo inscrito à de um ângulo central que intercepta o mesmo arco. Sua aparição mais antiga está nas Proposições 20–21 do Livro 3 dos Elementos de Euclides.
Teorema
Enunciado
thumb|class=skin-invert-image|Para pontos fixos e , o conjunto de pontos M no plano para os quais o ângulo é igual a α é um arco de círculo. A medida de , onde é o centro do círculo, é .
O teorema do ângulo inscrito afirma que um ângulo inscrito em um círculo é a metade do ângulo central que intercepta o mesmo arco no círculo. Portanto, o ângulo não muda à medida que seu vértice é movido para diferentes posições no mesmo arco do círculo.
Demonstração
Ângulos inscritos onde uma corda é um diâmetro thumb|class=skin-invert-image|Caso: Uma corda é um diâmetro Seja o centro de um círculo, como no diagrama à direita. Escolha dois pontos no círculo e chame-os de e . Designe o ponto como o ponto diametralmente oposto ao ponto . Desenhe a corda , um diâmetro que contém o ponto . Desenhe a corda . O ângulo é um ângulo inscrito que intercepta o arco ; denote-o como . Desenhe o segmento . O ângulo é um ângulo central que também intercepta o arco ; denote-o como .
Os segmentos e são ambos raios do círculo, portanto têm comprimentos iguais. Logo, o triângulo é isósceles, de modo que o ângulo e o ângulo são iguais.
Os ângulos e são suplementares, somando um ângulo raso (180°), portanto a medida do ângulo é .
Os três ângulos do triângulo devem somar 180°:
Somando a ambos os lados, obtém-se
Ângulos inscritos com o centro do círculo em seu interior thumb|class=skin-invert-image| Caso: Centro no interior do ângulo Dado um círculo cujo centro é o ponto , escolha três pontos no círculo. Desenhe as retas e : o ângulo é um ângulo inscrito. Agora desenhe a reta e estenda-a além do ponto de modo que ela intercepte o círculo no ponto . O ângulo intercepta o arco no círculo.
Suponha que este arco inclua o ponto em seu interior. O ponto é diametralmente oposto ao ponto . Os ângulos também são ângulos inscritos, mas ambos possuem um lado que passa pelo centro do círculo; portanto, o teorema da Parte 1 acima pode ser aplicado a eles.
Dessa forma,
então, definindo
tem-se que
Desenhe os segmentos e . O ângulo é um ângulo central, assim como os ângulos e , e
Definindo
tem-se que
A partir da Parte Um, sabemos que e que . Combinando esses resultados com a equação (2), obtém-se
portanto, pela equação (1),
Ângulos inscritos com o centro do círculo em seu exterior thumb|Caso: Centro no exterior do ângulo O caso anterior pode ser estendido para cobrir a situação em que a medida do ângulo inscrito é a diferença entre dois ângulos inscritos, conforme discutido na primeira parte desta demonstração.
Dado um círculo cujo centro é o ponto , escolha três pontos no círculo. Desenhe as retas e : o ângulo é um ângulo inscrito. Agora desenhe a reta e estenda-a além do ponto de modo que ela intercepte o círculo no ponto . O ângulo intercepta o arco no círculo.
Suponha que este arco não inclua o ponto em seu interior. O ponto é diametralmente oposto ao ponto . Os ângulos também são ângulos inscritos, mas ambos possuem um lado que passa pelo centro do círculo; portanto, o teorema da Parte 1 acima pode ser aplicado a eles.
Dessa forma,
então, definindo
tem-se que
Desenhe os segmentos e . O ângulo é um ângulo central, assim como os ângulos e , e
Definindo
tem-se que
A partir da Parte Um, sabemos que e que . Combinando esses resultados com a equação (4), obtém-se
portanto, pela equação (3),
thumb|class=skin-invert-image|GIF animado da demonstração do teorema do ângulo inscrito. O grande triângulo inscrito no círculo é subdividido em três triângulos menores, todos os quais são isósceles porque seus dois lados superiores são raios do círculo. Dentro de cada triângulo isósceles, o par de ângulos da base são iguais entre si e medem metade de 180° menos o ângulo do vértice no centro do círculo. A soma desses ângulos da base resulta no teorema, a saber, que o ângulo inscrito, , é a metade do ângulo central, .
Corolário thumb|O ângulo entre uma corda e uma reta tangente é a metade do arco pertencente à corda.
Por um argumento semelhante, o ângulo entre uma corda e a reta tangente em um de seus pontos de interseção é igual à metade do ângulo central subtendido pela corda. Veja também Reta tangente ao círculo.
Aplicações thumb|class=skin-invert-image|Demonstração sem palavras usando o teorema do ângulo inscrito de que os ângulos opostos de um quadrilátero cíclico são suplementares:2𝜃 + 2𝜙 = 360° ∴ 𝜃 + 𝜙 = 180° O teorema do ângulo inscrito é usado em muitas demonstrações da geometria euclidiana plana elementar. Um caso especial do teorema é o teorema de Tales, que afirma que o ângulo subtendido por um diâmetro é sempre 90° (ou seja, um ângulo reto). Como consequência do teorema, os ângulos opostos de quadriláteros cíclicos somam 180°; reciprocamente, qualquer quadrilátero para o qual isso seja verdadeiro pode ser inscrito em um círculo. Como outro exemplo, o teorema do ângulo inscrito serve de base para vários teoremas relacionados à potência de um ponto em relação a um círculo. Além disso, ele permite provar que, quando duas cordas se cruzam em um círculo, os produtos dos comprimentos de seus segmentos são iguais.
Teoremas do ângulo inscrito para elipses, hipérboles e parábolas Existem teoremas do ângulo inscrito também para elipses, hipérboles e parábolas. As diferenças essenciais estão nas medidas de um ângulo (um ângulo é considerado um par de retas concorrentes). Elipse Hipérbole Parábola
Referências
Categoria:Ângulos Categoria:Geometria euclidiana plana Categoria:Teoremas sobre círculos