Na análise matemática, o teorema de Clairaut-Schwarz é uma condição suficiente para a igualdade das derivadas parciais cruzadas de uma função de várias variáveis. O teorema estabelece que, se as derivadas parciais cruzadas existem e são contínuas, então são iguais. O nome do teorema é uma referência aos não-contemporâneos Alexis Claude de Clairaut e Hermann Amandus Schwarz. Em matemática, a simetria das segundas derivadas (também chamada de igualdade das parciais mistas) é o facto de que a troca da ordem das derivadas parciais de uma função multivariável
não altera o resultado se algumas condições de continuidade forem satisfeitas (ver abaixo); isto é, as derivadas parciais de segunda ordem satisfazem as identidades
Em outras palavras, a matriz das derivadas parciais de segunda ordem, conhecida como a matriz Hessiana, é uma matriz simétrica.
Condições suficientes para que a simetria se mantenha são dadas pelo teorema de Schwarz, também chamado de teorema de Clairaut ou teorema de Young.
No contexto de equações diferenciais parciais, é chamada de condição de integrabilidade de Schwarz.
Expressões formais de simetria Em símbolos, a simetria pode ser expressa como:
Outra notação é:
Em termos de composição do operador diferencial que retira a derivada parcial em relação a :
Desta relação segue-se que o anel de operadores diferenciais com coeficientes constantes, gerado pelos , é comutativo; mas isto só é verdade como operadores sobre um domínio de funções suficientemente diferenciáveis. É fácil verificar a simetria aplicada a monómios, de modo que se pode tomar polinómios em como um domínio. De facto, as funções suaves são outro domínio válido.
História O resultado sobre a igualdade das derivadas parciais mistas sob certas condições possui uma longa história. A lista de propostas de provas mal-sucedidas começou com a de Euler, publicada em 1740, embora já em 1721 Nicolas Bernoulli tivesse assumido implicitamente o resultado sem nenhuma justificação formal. Clairaut também publicou uma proposta de prova em 1740, sem outras tentativas até o final do século XVIII. A partir de então, por um período de 70 anos, várias provas incompletas foram propostas. A prova de Lagrange (1797) foi aperfeiçoada por Cauchy (1823), mas assumia a existência e continuidade das derivadas parciais e . Outras tentativas foram feitas por P. Blanchet (1841), Duhamel (1856), Sturm (1857), Schlömilch (1862) e Bertrand (1864). Finalmente, em 1867, Lindelöf analisou sistematicamente todas as provas falhas anteriores e foi capaz de exibir um contraexemplo específico onde as derivadas mistas falhavam em ser iguais.
Seis anos após isso, Schwarz conseguiu fornecer a primeira prova rigorosa. Dini contribuiu mais tarde ao encontrar condições mais gerais que as de Schwarz. Eventualmente, uma versão limpa e mais geral foi encontrada por Jordan em 1883, que ainda é a prova encontrada na maioria dos livros didáticos. Variantes menores de provas anteriores foram publicadas por Laurent (1885), Peano (1889 e 1893), J. Edwards (1892), P. Haag (1893), J. K. Whittemore (1898), Vivanti (1899) e Pierpont (1905). Novos progressos foram feitos em 1907–1909, quando E. W. Hobson e W. H. Young encontraram provas com condições mais fracas do que as de Schwarz e Dini. Em 1918, Carathéodory deu uma prova diferente baseada na integral de Lebesgue.
Teorema de Schwarz
Na análise matemática, o teorema de Schwarz (ou teorema de Clairaut sobre a igualdade das parciais mistas), nomeado em honra a Alexis Clairaut e Hermann Schwarz, afirma que para uma função definida num conjunto , se é um ponto tal que alguma vizinhança de está contida em e possui segundas derivadas parciais contínuas nessa vizinhança de , então para todos e em
As derivadas parciais desta função comutam nesse ponto.
Existe uma versão deste teorema onde se exige apenas que seja duas vezes diferenciável no ponto .
Uma forma fácil de estabelecer este teorema (no caso em que , e , o que acarreta prontamente o resultado em geral) é através da aplicação do teorema de Green ao gradiente de
Uma prova elementar para funções em subconjuntos abertos do plano é a seguinte (por uma redução simples, o caso geral para o teorema de Schwarz reduz-se facilmente ao caso planar). Seja uma função diferenciável num retângulo aberto contendo um ponto e suponha que é contínuo com e contínuos sobre Defina
Estas funções estão definidas para , onde e está contido em
Pelo teorema do valor médio, para e fixos não nulos, podem ser encontrados no intervalo aberto com
Como , a primeira igualdade abaixo pode ser dividida por :
Fazendo tenderem a zero na última igualdade, as suposições de continuidade sobre e agora implicam que
Este relato é um método clássico direto encontrado em muitos livros didáticos, por exemplo em Burkill, Apostol e Rudin.
Embora a derivação acima seja elementar, a abordagem também pode ser vista de uma perspectiva mais conceitual para que o resultado se torne mais aparente. De fato, os operadores de diferença comutam e tendem a quando tende a 0, com uma afirmação semelhante para operadores de segunda ordem. Aqui, para um vetor no plano e um vetor direcional ou , o operador de diferença é definido por
Pelo teorema fundamental do cálculo para funções num intervalo aberto com
Portanto
Esta é uma versão generalizada do teorema do valor médio. Recorde que a discussão elementar sobre máximos ou mínimos para funções de valores reais implica que, se é contínua em e diferenciável em , então existe um ponto em tal que
Para funções com valores vetoriais onde é um espaço normado de dimensão finita, não há análogo da igualdade acima; de fato, ela falha. Mas como , a desigualdade acima é um substituto útil. Além disso, usando o pareamento do dual de com a sua norma dual, obtém-se a seguinte desigualdade:
Estas versões do teorema do valor médio são discutidas em Rudin, Hörmander e noutros locais.
Para uma função num conjunto aberto no plano, defina e . Além disso, para , defina
Então, para no conjunto aberto, o teorema do valor médio generalizado pode ser aplicado duas vezes:
Assim, tende a quando tende a 0. O mesmo argumento mostra que tende a . Logo, como os operadores de diferença comutam, o mesmo acontece com os operadores diferenciais parciais e , como afirmado.
Observação. Por duas aplicações do teorema do valor médio clássico,
para alguns e em . Assim, a primeira prova elementar pode ser reinterpretada usando operadores de diferença. Inversamente, em vez de usar o teorema do valor médio generalizado na segunda prova, o teorema do valor médio clássico poderia ser usado.
Prova do teorema de Clairaut usando integrais iteradas As propriedades de integrais de Riemann repetidas de uma função contínua em um retângulo compacto são facilmente estabelecidas. A continuidade uniforme de implica imediatamente que as funções e são contínuas. Segue-se que
além disso, é imediato que a integral iterada é positiva se for positiva. A igualdade acima é um caso simples do teorema de Fubini, não envolvendo teoria da medida. prova-o de forma direta usando somas aproximadas de Riemann correspondentes a subdivisões de um retângulo em retângulos menores.
Para provar o teorema de Clairaut, assuma que é uma função diferenciável em um conjunto aberto , para a qual as segundas derivadas parciais mistas e existem e são contínuas. Usando o teorema fundamental do cálculo duas vezes,
Da mesma forma
As duas integrais iteradas são, portanto, iguais. Por outro lado, como é contínua, a segunda integral iterada pode ser realizada integrando primeiro em relação a e depois em relação a . Mas então a integral iterada de no retângulo deve anular-se. No entanto, se a integral iterada de uma função contínua se anula para todos os retângulos, então deve ser identicamente zero; do contrário, ou seria estritamente positiva em algum ponto e, portanto, por continuidade, num retângulo, o que não é possível. Assim, deve anular-se identicamente, de modo que em todos os pontos.
Suficiência da diferenciabilidade dupla
Uma condição mais fraca do que a continuidade das segundas derivadas parciais (que é implicada por esta última), mas que é suficiente para garantir a simetria, é que todas as derivadas parciais sejam, elas mesmas, diferenciáveis. Outro fortalecimento do teorema, no qual se afirma a existência da derivada parcial mista permutada, foi fornecido por Peano numa nota curta de 1890 na revista Mathesis:
Formulação na teoria das distribuições
A teoria das distribuições (funções generalizadas) elimina os problemas analíticos relacionados à simetria. A derivada de uma função integrável pode sempre ser definida como uma distribuição, e a simetria das derivadas parciais mistas sempre se mantém como uma igualdade de distribuições. O uso da integração por partes formal para definir a diferenciação de distribuições transfere a questão da simetria de volta para as funções de teste, que são suaves e certamente satisfazem esta simetria. Em mais detalhes (onde f é uma distribuição, escrita como um operador sobre funções de teste, e φ é uma função de teste),
Outra abordagem, que define a Transformada de Fourier de uma função, consiste em notar que, em tais transformadas, as derivadas parciais tornam-se operadores de multiplicação que comutam de forma muito mais óbvia.
Requisito de continuidade A simetria pode ser quebrada se a função falhar em ter derivadas parciais diferenciáveis, o que é possível se o teorema de Clairaut não for satisfeito (as segundas derivadas parciais não são contínuas).
thumb|right|A função f(x, y), como mostrada na equação (), não possui derivadas segundas simétricas na sua origem
Um exemplo de não-simetria é a função (devida a Peano):
Isto pode ser visualizado pela forma polar ; ela é contínua em todos os pontos, mas as suas derivadas em não podem ser computadas algebricamente. Em vez disso, o limite dos quocientes de diferença mostra que , de modo que o gráfico possui um plano tangente horizontal em , e as derivadas parciais existem e são contínuas em todos os pontos. No entanto, as segundas derivadas parciais não são contínuas em , e a simetria falha. De facto, ao longo do eixo x, a derivada em ordem a y é , e portanto:
Em contraste, ao longo do eixo y, a derivada em ordem a x é , e portanto . Ou seja, em , embora as derivadas parciais mistas existam e, em todos os outros pontos, a simetria se mantenha.
A função acima, escrita em coordenadas polares, pode ser expressa como
mostrando que a função oscila quatro vezes ao percorrer uma volta completa em torno de um laço arbitrariamente pequeno que contenha a origem. Intuitivamente, portanto, o comportamento local da função em (0, 0) não pode ser descrito como uma forma quadrática e, por conseguinte, a matriz Hessiana falha em ser simétrica.
Em geral, a permutação de operações de limite não tem de comutar. Dados dois processos de limite em duas variáveis perto de aplicados a
correspondendo a fazer h → 0 primeiro, ou a fazer k → 0 primeiro. A ordem de aplicação pode importar ao olhar para os termos de primeira ordem. Isto leva à construção de exemplos patológicos nos quais as segundas derivadas não são simétricas. Este tipo de exemplo pertence à teoria da Análise real, onde o valor pontual das funções é relevante. Quando vista como uma distribuição, os valores da segunda derivada parcial podem ser alterados num conjunto arbitrário de pontos, desde que este tenha Medida de Lebesgue 0. Como no exemplo a Hessiana é simétrica em todos os pontos exceto em , não há contradição com o facto de a Hessiana, vista como uma Distribuição de Schwartz, ser simétrica.
Na teoria de Lie
Considere os operadores diferenciais de primeira ordem como operadores infinitesimais no espaço euclidiano. Isto é, , num certo sentido, gera o grupo a um parâmetro de translações paralelas ao eixo-. Estes grupos comutam entre si e, portanto, os geradores infinitesimais também o fazem; o colchete de Lie