O teorema de Euclides, que assegura a existência de uma infinidade de números primos, é um resultado fundamental da teoria dos números e possui inúmeras demonstrações. Além do próprio Euclides, matemáticos famosos como Euler, Goldbach e Erdös, entre outros, também forneceram demonstrações desse teorema. Há uma, no entanto, que chama bastante a atenção e que valeu fama ao matemático que a engendrou: é a “demonstração topológica” do matemático israelense Hillel Fürstenberg. A prova foi publicada pela primeira vez em 1955 no American Mathematical Monthly, o jornal mais famoso da Mathematical Association of America.

A demonstração de Fürstenberg

Dados inteiros , em que , defina . Podemos chamar um conjunto da forma de “conjunto aritmético” (abreviadamente CA), dado que a ordenação de seus elementos é uma progressão aritmética de termo inicial e razão igual a ; e a ordenação dos elementos uma progressão aritmética de termo inicial também e razão, porém, igual a .

Considere a coleção X : X é um CA ou uma união de CAs de subconjuntos de . Tal coleção é uma topologia sobre (cujos CAs são abertos básicos, isto é, a coleção de todos os CAs é uma base para tal topologia). Os axiomas de uma topologia são facilmente verificados: Por definição, o conjunto vazio é aberto; e o espaço inteiro também, já que ; União arbitrária de elementos de é ainda um elemento de ; A interseção de dois elementos de pertence ainda a : dados e , sejam e inteiros tais que e ; e seja o mínimo múltiplo comum de e . Então, como e , .

Esta topologia é um tanto incomum e possui duas propriedades notáveis: Se é finito, então e, consequentemente, o complementar de um conjunto finito não-vazio nunca é fechado. Os abertos básicos são também conjuntos fechados, pois é possível escrever como o complementar de um conjunto aberto:

Bem, os únicos inteiros que não são múltiplos de números primos são -1 e 1, ou seja, vale a identidade

Pela primeira propriedade, o conjunto não pode ser fechado. Por outro lado, pela segunda propriedade, os conjuntos são fechados. Assumindo então, por absurdo, que o conjunto dos números primos seja finito, como a união finita de conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado, ganha-se que é fechado. Mas isto é uma contradição e, portanto, existem infinitos números primos.

Estudos complementares sobre a topologia de Fürstenberg O espaço topológico proposto por Fürstenberg foi estudado por vários autores. Lovas e Mező, por exemplo, forneceram diversas métricas que geram a topologia de Fürstenberg. E mais ainda: encontraram também o completamento métrico de Z por meio de uma dessas métricas.

Referências

Ligações externas no Everything2 no PlanetMath no The Prime Pages no Cut The Not no Cut The Not

Categoria:Números primos Furstenberg Infinitude Categoria:Topologia (matemática)