Na teoria das categorias, um ramo da matemática, um subobjeto é, grosso modo, um objeto que está dentro de outro objeto da mesma categoria. A noção é uma generalização dos conceitos de subconjunto (da teoria de conjuntos) e subgrupo (da teoria de grupos). Uma vez que a real estrutura dos objetos é irrelevante na teoria de categorias, e não há necessariamente um conceito de "elemento", a definição de subobjeto se baseia em um morfismo que descreve como um objeto se situa dentro de outro.

Definição Seja uma categoria. Para monomorfismos e em , de contradomínios iguais, escreve-se quando para alguma seta . (Pode-se ver que há no máximo uma seta com essa propriedade, e, quando existe, é um monomorfismo.) Então, define uma pré-ordem, de modo que se e só se e define uma relação de equivalência. Um subobjeto de é uma classe de equivalência (em ) de monomorfismos de contradomínio .

Exemplos Na categoria dos conjuntos , os subobjetos de correspondem biunivocamente aos subconjuntos de . De fatos, dados monomorfismos (isto é, funções injetivas) e , vale que se e só se a imagem de está contida na imagem de . Cada subconjunto se associa ao subobjeto que é a classe de equivalência do monomorfismo dado pela inclusão. Similarmente, na categoria dos grupos , os subobjetos correspondem a subgrupos; na categoria dos anéis , os subobjetos correspondem a subanéis; etc. Porém, na categoria dos espaços topológicos , os subobjetos comuns não correspondem aos subespaços. O motivo é que há monomorfismos (isto é, funções contínuas injetivas) para os quais o domínio tem topologia mais fina do que o contradomínio. Isso pode ser resolvido considerando uma classe menor de subobjetos, como subobjetos regulares.

Tipos de subobjetos Por vezes, pode ser útil restringir a atenção a uma classe menor de monomorfismos. Um monomorfismo é dito ser um monomorfismo regular quando é equalizador de alguma dupla de morfismos . Um monomorfismo é dito ser um monomorfismo extremal quando, para quaisquer morfismos e tais que é epimorfismo e , vale que é um isomorfismo.

Desse modo, usando-se as mesmas relações e , uma subobjeto regular (respectivamente extremal) é uma classe de equivalência de monomorfismos regulares (respectivamente extremais) de mesmos contradomínios.

A seguir, alguns exemplos. Na categoria , todo monomorfismo é regular. Com efeito, um monomorfismo é equalizador da dupla , onde é a função constantemente um e é a função característica da imagem de . Similarmente, todo monomorfismo em é extremal. Na categoria , um monomorfismo é extremal se e só se sua correstrição é homeomorfismo . Com efeito, numa direção, se é monomorfismo extremal, escrevendo-se , onde é a correstrição de e onde é a inclusão, como é sobrejetivo (logo epimorfismo), é um isomorfismo (isto é, homeomorfismo). Na categoria , um monomorfismo é regular precisamente quando é extremal. Desse modo, os subobjetos regulares e extremais em correspondem precisamente a subespaços. Na categoria de espaços topológicos de Hausdorff , um monomonorfismo é extremal se e só se é regular, se e só se a correstrição de é homeomorfismo e é subespaço fechado de . Desse modo, os subobjetos regulares e extremais em correspondem precisamente a subespaços fechados. Na categoria , todo monomorfismo é regular. Na categoria , a inclusão é um monomorfismo não regular.

Propriedades Toda seção é um monomorfismo regular. Todo monomorfismo regular é extremal. Mais geralmente, se é monomorfismo extremal e é monomorfismo regular, então é monomorfismo extremal. Todo monomorfismo extremal que é epimorfismo é um isomorfismo. Um ínfimo de uma família de monomorfismos de mesmo contradomínio é o mesmo que um produto fibrado (pullback) dessa família. (O ínfimo da família dos subobjetos correspondentes também é chamado de interseção.)

Objeto quociente Um objeto quociente numa categoria é um subobjeto na categoria oposta .

Expande-se essa definição. Para epimorfismos e , escreve-se quando para alguma seta . A relação é definida como antes, e um objeto quociente é uma classe de equivalência de epimorfismos de mesmo domínio.

Um epimorfismo é dito ser um epimorfismo regular quando é coequalizador de alguma dupla . Um epimorfismo é dito ser epimorfismo extremal quando, em cada fatoração na qual é monomorfismo, vale que é isomorfismo.

Alguns exemplos. Na categoria , objetos quocientes de correspondem biunivocamente a relações de equivalência em . Na categoria , todo epimorfismo é regular; também, objetos quocientes de grupo correspondem biunivocamente a relações de equivalência em que preservam a operação, isto é, correspondem biunivocamente a subgrupos normais de . Na categoria , objetos quocientes regulares de anel e objetos quocientes extremais coincidem, e correspondem biunivocamente a ideais de . Na categoria dos espaços compactos de Hausdorff, os objetos quociente de correspondem biunivocamente a relações de equivalência em de gráfico sendo subconjunto fechado de .

Bibliografia

Categoria:Teoria das categorias