Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição gama é uma família de distribuições contínuas de probabilidade de dois parâmetros. Diversos tipos de distribuições são dependentes, ou são casos específicos da distribuição gama, como a distribuição exponencial e a distribuição qui-quadrado. A distribuição gama é usada para modelar valores de dados positivos que são assimétricos à direita e maiores que 0. Ela é comumente usada em estudos de sobrevivência de confiabilidade.
Existem três diferentes parametrizações no uso comum: Com um parâmetro de forma e um parâmetro de escala . Com um parâmetro de forma e um parâmetro de escala inversa , chamado parâmetro de taxa. Com um parâmetro de forma e um parâmetro média . Em cada uma dessas formas, ambos os parâmetros são números reais positivos.
ra a qual é fixada e maior que zero, e é fixado ( é a função digama).
Dentro da distribuição gama uma importante propriedade é o fato de que à medida que aumenta, essa distribuição se aproxima de uma Normal com média µ e variância µ²= µ²/v
Por exemplo, a distribuição gama pode descrever o tempo de um componente elétrico de falhar. A maioria dos componentes elétricos de um determinado tipo falharão na mesma época, mas alguns vão demorar muito tempo para falhar.
Parametrização A parametrização com e parece ser mais comum em econometria e em outros campos de aplicação, onde por exemplo, a distribuição gama é frequentemente usada para modelar tempos de espera. A parametrização com e é mais comum em estatística bayesiana, onde a distribuição gama é usada como uma distribuição conjugada a priori para vários tipos de parâmetros de escala inversa (também conhecido como parâmetros de taxa), assim como o de uma distribuição exponencial ou uma distribuição de Poisson Scalable Recommendation with Poisson Factorization, Prem Gopalan, Jake M. Hofman, David Blei, arXiv.org 2014.
Se é um inteiro positivo, então a distribuição representa uma distribuição Erlang, isto é, a soma de variáveis aleatórias exponencialmente distribuídas, cada uma das quais tem média
Caracterização usando e taxa A distribuição gama pode ser parametrizadas em termos de um parâmetro de forma e o parâmetro de escala inversa , chamado parâmetro de taxa. Uma variável aleatória que é distribuída sob gama com forma e taxa é denotada
A função densidade de probabilidade correspondente na parametrização forma-taxa é
,
onde é uma função gama completa. Para todos os inteiros positivos
A função de distribuição acumulada é a função gama regularizada:
onde é a função gama incompleta inferior.
Se é um inteiro positivo (isto é, a distribuição é uma Distribuição Erlang), a função de distribuição acumulada tem a seguinte expansão em séries:Papoulis, Pillai, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, Fourth Edition
Caracterização usando a forma e escala Uma variável aleatória que é distribuída sob gama com parâmetro de forma e escala é denotada por
thumb|right|300px|Ilustração de uma função densidade de probabilidade para valores de parâmetros e com ajustado para 1, 2,3,4,5 e 6.
A função densidade de probabilidade usando a parametrização forma-escala é
Aqui é a função gama avaliada em .
A função de distribuição acumulada é a função gama regularizada:
onde é a função gama incompleta inferior.
Também pode ser expressa como segue, se é um inteiro positivo (isto é, a distribuição é uma distribuição Erlang):Papoulis, Pillai, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, Fourth Edition
Aplicações Este tipo de distribuição geralmente é aplicada quando se quer fazer algum tipo de analise ligada ao tempo de vida de algum tipo de produto. Por exemplo em um painel elétrico, os mesmo componentes elétricos tem a sua duração (vida útil) aproximadamente igual, ou seja vão durar o mesmo período de tempo, porem alguns podem durar muito mais.
Categoria:Distribuições contínuas Categoria:Distribuições de probabilidade